ainsi ce que la loterie doit rendre est le quotient de la mise divisée par la probabilité du joueur pour gagner.
4. Une loterie étant composée de
numéros dont
sortent à chaque tirage, on demande la probabilité qu’après
tirages tous les numéros seront sortis.
Nommons
le nombre des cas dans lesquels, après
tirages, la totalité des numéros
sera sortie. Il est clair que ce nombre est égal au nombre
de cas dans lesquels les numéros
sont sortis, moins le nombre de cas dans lesquels, ces numéros étant sortis, le numéro
n’est pas sorti ; or ce dernier nombre est évidemment le même que celui des cas dans lesquels les numéros
seraient sortis, si l’on ôtait le numéro
des
numéros de la loterie, et ce nombre est
on a donc
![{\displaystyle (i)\qquad \qquad \qquad \qquad z_{n,q}=z_{n,q-1}-z_{n-1,q-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a600335becae37986a6ac7da990c62fe34c038)
Maintenant le nombre de tous les cas possibles dans un seul tirage étant
celui de tous les cas possibles dans
tirages est
![{\displaystyle \left[{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574e0da444a8218abccbab543d587a22ced427b2)
Le nombre de tous les cas dans lesquels le numéro
ne sortira pas dans ces
tirages est le nombre de tous les cas possibles, lorsqu’on retranche ce numéro des
numéros de la loterie, et ce nombre est
![{\displaystyle \left[{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-r)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6871569add2e549c89fbb80d8b4aa8be1341c62)
le nombre des cas dans lesquels le numéro
sera sorti dans
tirages est donc
![{\displaystyle \left[{\frac {n(n-1)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}-\left[{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-r)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d5ec23c0ff2bacc224f97c39464264ad93e1e6)
ou
![{\displaystyle \Delta \left[{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-r)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372575d4d59d33986d71fc12066b8d1fcf192ee0)