c’est la valeur de
Cela posé, l’équation
donnera, en y faisant successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{n,2}=&\Delta ^{2}\left[{\frac {(n-2)(n-3)\ldots (n-r-1)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i},\\z_{n,3}=&\Delta ^{3}\left[{\frac {(n-3)(n-4)\ldots (n-r-2)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae464b7940afc504c501e99cb28fdd25777d8aea)
et généralement
![{\displaystyle z_{n,q}=\Delta ^{q}\left[{\frac {(n-q)(n-q-1)\ldots (n-r-q+1)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f06e715a7d307a0a9dc0a327782890c330adab7)
Ainsi la probabilité que les numéros
sortiront dans
tirages étant égale à
divisé par le nombre de tous les cas possibles, elle sera
![{\displaystyle {\frac {\Delta ^{q}\left[(n-q)(n-q-1)\ldots (n-r-q+1)\right]^{i}}{\left[n(n-1)(n-2)\ldots (n-r+1)\right]^{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80e9283e77338fd4fce498f4652801c3e342f27)
Si l’on fait dans cette expression
on aura,
étant ici la variable qui doit être supposée nulle dans le résultat,
![{\displaystyle {\frac {\Delta ^{n}\left[s(s-1)\ldots (s-r+1)\right]^{i}}{\left[n(n-1)\ldots (n-r+1)\right]^{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ffd066b037a0156cefff42683cd8cfbbda3041e)
pour l’expression de la probabilité que tous les numéros de la loterie sortiront dans
tirages.
Si
et
sont de très grands nombres, on aura, par les formules du no 40 du Livre Ier, la valeur de cette probabilité au moyen d’une série très convergente. Supposons, par exemple, qu’il ne sorte qu’un numéro à chaque tirage ; la probabilité précédente devient
![{\displaystyle {\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41f50b99c7eab54f29fccaa6d275f28de03e828)
Proposons-nous de déterminer le nombre
de tirages dans lesquels cette probabilité est
et
étant de très grands nombres. En suivant