sances : c’est la probabilité que la partie sera terminée au plus tard dans n coups.
Considérons encore le premier problème un peu difficile que l’on ait résolu sur les probabilités, et que Pascal proposa de résoudre à Fermat. Deux joueurs et dont les adresses sont égales, jouent ensemble avec la condition que celui qui le premier aura vaincu l’autre un nombre donné de fois gagnera la partie, et emportera la somme des mises au jeu ; après quelques coups, les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie ; on demande de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie ; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilité de est une fonction de ces deux nombres que nous nommerons indices. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort, pourvu qu’après ce nouveau coup le partage se fasse toujours proportionnellement aux nouvelles probabilités de gagner la partie), alors, ou gagnerait ce coup, et dans ce cas le nombre des points qui lui manquent serait diminué d’une unité ; ou le joueur le gagnerait, et dans ce cas le nombre des points manquant à ce dernier joueur deviendrait moindre d’une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est| ; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction, dans laquelle on diminue de l’unité le premier indice, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de l’unité. Cette égalité est une de ces équations que l’on nomme équations aux différences partielles.
On peut déterminer, à son moyen, les probabilités de en partant des plus petits nombres, et en observant que la probabilité ou la fonction qui l’exprime est égale à l’unité, lorsqu’il ne manque aucun point au joueur ou lorsque le premier indice est nul, et que cette fonction devient nulle avec le second indice. En supposant ainsi qu’il ne manque qu’un point au joueur on trouve que sa probabilité est ,
