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nombre est le terme multiplié par $p^{x-1}$ dans le développement du polynôme $(p+q+r+\ldots )^{x+i-1},$ et ce terme est

${\frac {1.2.3\ldots (x+i-1)}{1.2.3\ldots (x-1)1.2.3\ldots i}}p^{x-1}(q+r+\ldots )^{i}.$

En le combinant avec les $p$ boules blanches de l’urne $x+i,$ on aura un produit qu’il faudra encore multiplier par le nombre de tous les cas possibles relatifs aux $x'+x''+\ldots -n-i+1$ tirages suivants, et ce nombre est

$(p+q+r+\ldots )^{x'+x''+\ldots -n-i+1}\,;$

on aura donc

$(a)\quad {\frac {1.2.3\ldots (x+i-1)}{1.2.3\ldots (x-1)1.2.3\ldots i}}$

$\times p^{x}(q+r+\ldots )^{i}(p+q+r+\ldots )^{x'+x''+\ldots -n-i+1},$

pour le nombre des cas dans lesquels l’événement peut arriver précisément au tirage $x+i.$ Il faut cependant en exclure les cas dans lesquels $q$ est élevé à la puissance $x',$ ceux dans lesquels $r$ est élevé à la puissance $x'',$ etc. ; car dans tous ces cas il est déjà arrivé au tirage $x+i-1,$ ou $x'$ boules noires, ou $x''$ boules rouges, ou etc. Ainsi dans le développement du polynôme $(q+r+\ldots )^{i},$ il ne faut avoir égard qu’aux termes multipliés par $q^{f}r^{f'}s^{f''}\ldots ,$ dans lesquels $f$ est moindre que $x',\ f$ est moindre que $x'',\ f''$ est moindre que $x''',\ldots .$ Le terme multiplié par $q^{f}r^{f'}s^{f''}\ldots$ dans ce développement est

${\frac {1.2.3\ldots i}{1.2.3\ldots f.1.2.3\ldots f'.1.2.3\ldots f''\ldots }}q^{f}r^{f'}s^{f''}\ldots .$

Tous les termes que l’on doit considérer dans la fonction $(a)$ sont donc représentés par

$(b)\qquad \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1.2.3\ldots (x+f+f'+f''+\ldots -1)}{1.2.3\ldots (x-1).1.2.3\ldots f.1.2.3\ldots f'\ldots }}p^{x}q^{f}r^{f'}\ldots \\&\times (p+q+r+\ldots )^{x'+x''+\ldots -f-f'-\ldots -n+1},\end{aligned}}\right\}$

parce que $i$ est égal à $f+f'+\ldots .$ Ainsi, en donnant, dans cette dernière fonction, à $f$ toutes les valeurs entières depuis $f=0$ jusqu’à $f=x'-1,$ à $f'$ toutes les valeurs depuis $f'=0$ jusqu’à $f'=x''-1,$ et