ainsi de suite, la somme de tous ces termes exprimera le nombre des cas dans lesquels l’événement proposé peut arriver dans 
tirages. Il faut diviser cette somme par le nombre de tous les cas possibles, c’est-à-dire par 
Si l’on désigne par 
la probabilité de tirer une boule blanche d’une quelconque des urnes, par 
celle d’en tirer une boule noire, par 
celle d’en tirer une boule rouge, …, on aura
la fonction 
divisée par 
deviendra ainsi
La somme des termes que l’on obtiendra en donnant à 
toutes les valeurs depuis 
jusqu’à 
à 
toutes les valeurs depuis 
jusqu’às 
sera la probabilité cherchée d’amener 
boules blanches avant 
boules noires, ou 
boules rouges, ou, etc.
On peut, d’après cette analyse, déterminer le sort d’un nombre 
de joueurs 
dont 
représentent les adresses respectives, c’est-à-dire leurs probabilités de gagner un coup lorsque, pour gagner la partie, il manque coups au joueur 
, coups au joueur 
coups au joueur 
, et ainsi de suite ; car il est clair que, relativement au joueur 
, cela revient à déterminer la probabilité d’amener boules blanches avant boules noires, ou boules rouges, …, en tirant successivement une boule d’un nombre 
d’urnes qui renferment chacune 
boules blanches, 
boules noires, 
boules rouges, …, 
étant respectivement égaux aux numérateurs des fractions réduites au même dénominateur.
8. Le problème précédent peut être résolu d’une manière fort simple par l’analyse des fonctions génératrices. Nommons 
la
