on aura
![{\displaystyle {\frac {(2+t)tt'}{4}}\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {1}{4}}t'(1+t')+{\frac {1}{4^{2}}}t'^{2}(1+t')^{2}+{\frac {1}{4^{3}}}t'^{3}(1+t')^{3}+\ldots \\&+{\frac {t(1+t)}{4}}\left[1+{\frac {2}{4}}t'(1+t')+{\frac {3}{4^{2}}}t'^{2}(1+t')^{2}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {4}{4^{3}}}t'^{3}(1+t')^{3}+\ldots \right]\\&+{\frac {t^{2}(1+t)^{2}}{4^{2}}}\left[1+{\frac {3}{4}}t'(1+t')+{\frac {3.4}{1.2.4^{2}}}t'^{2}(1+t')^{2}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {3.4.5}{1.2.3.4^{3}}}t'^{3}(1+t')^{3}+\ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4e8d6b2777c6872a718030fc0660e1849e9576)
Si l’on rejette de cette série toutes les puissances de
autres que
et toutes les puissances de
supérieures à
et si dans ce qui reste on fait
on aura l’expression de
lorsque
est égal ou plus grand que l’unité ; lorsque
est nul, on a
Il est facile de traduire ce procédé en formule, comme on l’a fait pour le cas précédent.
Nommons
la probabilité du joueur
; la fonction génératrice de
sera ce que devient la fonction génératrice de
lorsqu’on y change
en
et réciproquement, ce qui donne, pour cette fonction,
![{\displaystyle {\frac {t\left(1-{\frac {1}{4}}t-{\frac {1}{4}}t^{2}\right)+{\frac {1}{4}}tt'}{(1-t)\left(1-{\frac {1}{4}}t-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t^{2}-{\frac {1}{4}}t'^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366f1d76e8461d924c71d24f6be1612eb5cce53a)
En ajoutant les deux fonctions génératrices, leur somme se réduit à
![{\displaystyle {\frac {t}{1-t}}+{\frac {t'}{1-t'}}+{\frac {tt'}{(1-t)(1-t')}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da0bb062203671b7907311e4bc9f93ef7dd90ee)
dans laquelle le coefficient de
est l’unité ; ainsi l’on a
![{\displaystyle y_{x,x'}+z_{x,x'}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16aa0362a215cea44e99c75eba5232b7bd52a48a)
ce qui est visible d’ailleurs, puisque la partie doit être nécessairement gagnée par l’un des joueurs.
9. Concevons dans une urne
boules marquées du no 1,
boules marquées du no 2,
boules marquées du no 3, et ainsi de suite jusqu’au no
Ces boules étant bien mêlées dans l’urne, on les tire toutes suc-