appliquant aux intégrales précédentes la méthode du no 24 du Livre Ier, on trouvera à très peu près, pour l’intégrale du numérateur,
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}\mathrm {X} ^{rn+2}\left(1-{\cfrac {r}{\mathrm {X} }}\right)^{n+1}c^{-X}}{{\sqrt {n}}\mathrm {X} ^{2}+n(r-1)(\mathrm {X} -r)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9e86140df6c932e61f3b33314ffaff4b5b1c79)
étant la valeur de
qui rend un maximum la fonction
L’équation relative à ce maximum donne pour
les deux valeurs
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {rn+r}{2}}\pm {\frac {\sqrt {r^{2}(n-1)^{2}+4rn}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d87af40b272ee299b4e6b75c64381c606d35d65)
On peut ne considérer ici que la plus grande de ces valeurs qui est, aux quantités près de l’ordre
égale à
alors l’intégrale du numérateur de la fonction
devient à peu près
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}(rn)^{rn+{\frac {1}{2}}}c^{-rn}\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{n+1}{\sqrt {r}}}{\sqrt {(r-1)\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{2}+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa74c0a3b1619b04e5f2ad0d61a89ded26205c06)
L’intégrale du dénominateur de la même fonction est, par le no 33, à fort peu près,
![{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}(rn)^{rn+{\frac {1}{2}}}c^{-rn}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471c5b7a58ebb5ce76621c6abea5b04f6b7c49b3)
la fonction
devient ainsi
![{\displaystyle {\frac {\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{n+1}{\sqrt {r}}}{\sqrt {(r-1)\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{2}+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93995b17369104eafad8f89b33d2d9b2c297eb3)
On peut la mettre sous la forme
![{\displaystyle {\frac {\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{n+1}}{\sqrt {\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{2}+{\cfrac {2}{rn}}-{\cfrac {1}{rn^{2}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c490cb7a43a56702e566c6be8ac8778f0586eddf)
étant supposé un très grand nombre, cette fonction se réduit à fort