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En l’ajoutant à la fonction $(h'),$ on aura

$(b'')\left\{{\begin{aligned}&{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+1)}{1.2.3\ldots s}}r^{s}(rn-s)(rn-s-1)\ldots (rn-n+1)\\&\times \left\{{\begin{aligned}&1-{\frac {s}{s+1}}{\frac {(n-s)r}{rn-s}}\\+{\frac {s}{s+2}}{\frac {(n-s)(n-s-1)r^{2}}{1.2(rn-s)(rn-s-1)}}\end{aligned}}\right\}.\\\end{aligned}}\right.$

C’est le nombre de tous les cas possibles dans lesquels $s$ boules sortent à leur rang, pourvu que l’on en retranche encore les cas qui sont répétés. En continuant de raisonner ainsi, et en divisant la fonction finale par le nombre de tous les cas possibles, on aura, pour l’expression de la probabilité que $s$ boules au moins sortiront à leur rang.

(C)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-s+1)r^{s-1}}{1.2.3\ldots s(rn-1)(rn-2)\ldots (rn-s+1)}}\\&\times \left\{{\begin{aligned}1&-{\frac {s}{s+1}}{\frac {(n-s)r}{rn-s}}+{\frac {s}{s+2}}{\frac {(n-s)(n-s-1)r^{2}}{1.2.(rn-s)(rn-s-1)}}\\&-{\frac {s}{s+3}}{\frac {(n-s)(n-s-1)(n-s-2)r^{3}}{1.2.3.(rn-s)(rn-s-1)(rn-s-2)}}+\ldots \end{aligned}}\right\}.\\\end{aligned}}\right.$

On aura la probabilité qu’aucune des boules ne sortira à son rang en retranchant la formule (B) de l’unité, et l’on trouvera, pour son expression,

${\frac {(1.2.3.\ldots rn)-nr\left[1.2.3.\ldots (rn-1)\right]+{\frac {n(n-1)}{1.2}}r^{2}\left[1.2.3.\ldots (rn-2)\right]-\ldots }{1.2.3.\ldots rn}}.$

On a, par le n^o 33 du Livre I^er, quel que soit $i,$

$1.2.3.\ldots i=\int x^{i}dxc^{-x},$

l’intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini. L’expression précédente peut donc être mise sous cette forme

$(o)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\int x^{rn-n}dx(x-r)^{n}c^{-x}}{\int x^{rn}dxc^{-x}}}.$

Supposons le nombre $rn$ de boules de l’urne très grand ; alors, en