mentorum, ait considéré les équations linéaires aux différences finies. Il y donne la manière d’intégrer celles du premier ordre, avec un coefficient et un dernier terme, fonctions de l’indice. À la vérité, les relations des termes des progressions arithmétiques et géométriques que l’on a considérées de tout temps sont les cas les plus simples des équations linéaires aux différences ; mais on ne les avait pas envisagées sous ce point de vue, l’un de ceux qui, se rattachant à des théories générales, conduisent à ces théories, et sont par là de véritables découvertes.
Vers le même temps, Moivre considéra sous la dénomination de suites récurrentes les équations aux différences finies d’un ordre quelconque, à coefficients constants. Il parvint à les intégrer d’une manière très ingénieuse. Comme il est toujours intéressant de suivre la marche des inventeurs, je vais exposer celle de Moivre, en l’appliquant à une suite récurrente dont la relation entre trois termes consécutifs est donnée. D’abord, il considère la relation entre les termes consécutifs d’une progression géométrique, ou l’équation à deux termes qui l’exprime. En la rapportant aux termes inférieurs d’une unité, il la multiplie dans cet état par un facteur constant, et il retranche le produit de l’équation primitive. Par là, il obtient une équation entre trois termes consécutifs de la progression géométrique. Moivre considère ensuite une seconde progression dont la raison des termes est le facteur même qu’il vient d’employer. Il diminue pareillement d’une unité l’indice des termes de l’équation de cette nouvelle progression ; dans cet état, il la multiplie par la raison des termes de la première progression, et il retranche le produit de l’équation de la seconde progression, ce qui lui donne entre trois termes consécutifs de cette progression une relation entièrement semblable à celle qu’il a trouvée pour la première progression. Puis il observe que, si l’on ajoute terme à terme les deux progressions, la même relation subsiste entre trois quelconques de ces sommes consécutives. Il compare les coefficients de cette relation à ceux de la relation des termes de la suite récurrente proposée, et il trouve, pour déterminer les rapports des deux progressions géométri-
