Concevons pareillement, au-dessus du plan des séries précédentes, un second plan de séries semblables, dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux du premier plan ; concevons ensuite, au-dessus de ce second plan, un troisième plan de séries semblables, et ainsi à l’infini ; supposons tous les termes de ces séries liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris dans les sens de la longueur, de la largeur et de la profondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à trois indices.
Enfin, en considérant la chose, d’une manière abstraite et indépendante des dimensions de l’espace, concevons généralement un système de grandeurs qui soient fonctions d’un nombre quelconque d’indices, et supposons, entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces indices et les indices eux-mêmes, autant d’équations qu’il y a de ces grandeurs : ces équations seront aux différences finies partielles à un nombre quelconque d’indices.
On peut, à leur moyen, déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même que l’équation à un seul indice exige pour cela que l’on connaisse un certain nombre de termes de la série, de même l’équation à deux indices exige que l’on connaisse une ou plusieurs lignes de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire d’un des indices. Pareillement, l’équation à trois indices exige que l’on connaisse un ou plusieurs plans de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices, ainsi de suite. Dans tous ces cas, on pourra, par des éliminations successives, déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine étant comprises dans un même système d’équations, toutes les expressions des termes successifs que l’on obtient par ces éliminations doivent être comprises dans une expression générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l’intégrale de l’équation proposée aux différences, et sa recherche est l’objet du Calcul intégral.
Taylor est le premier qui, dans son Ouvrage intitulé Methodus incre-
