ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1.2.3\ldots (x-l)}}=&(x-l)^{l-x-{\frac {1}{2}}}{\frac {c^{x-l}}{\sqrt {2\pi }}}\left[1-{\frac {1}{12(x-l)}}-\ldots \right],\\{\frac {1}{1.2.3\ldots (x'+l)}}=&(x'+l)^{-x'-l-{\frac {1}{2}}}{\frac {c^{x'+l}}{\sqrt {2\pi }}}\left[1-{\frac {1}{12(x'+l)}}-\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7af6920c7fd362772ffff3f5879c3b76851c7b)
Développons le terme
Son logarithme hyperbolique est
![{\displaystyle \left(l-x-{\frac {1}{2}}\right)\left[\log x+\log \left(1-{\frac {l}{x}}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944a848007de8043e1c3cdf9087459e81e17fce8)
or on a
![{\displaystyle \log \left(1-{\frac {l}{x}}\right)=-{\frac {l}{x}}-{\frac {l^{2}}{2x^{2}}}-{\frac {l^{3}}{3x^{3}}}-{\frac {l^{4}}{4x^{4}}}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8088c7dc5604f8c1041bc1d44fdf914a18a052bf)
nous négligerons les quantités de l’ordre
et nous supposerons que
ne surpasse point l’ordre
alors on pourra négliger les termes de l’ordre
parce que
et
sont de l’ordre
On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(l-x-{\frac {1}{2}}\right)&\left[\log x+\log \left(1-{\frac {l}{x}}\right)\right]\\=&\left(l-x-{\frac {1}{2}}\right)\log x+l+{\frac {l}{2x}}-{\frac {l^{2}}{2x}}-{\frac {l^{3}}{6x^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c00b9d61bb0eb1fcd574a795e6a88ecc7ba61a)
ce qui donne, en repassant des logarithmes aux nombres,
![{\displaystyle (x-l)^{l-x-{\frac {1}{2}}}=c^{l-{\frac {l^{2}}{2x}}}x^{l-x-{\frac {1}{2}}}\left(1+{\frac {l}{2x}}-{\frac {l^{3}}{6x^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be0f9d7d4909cb41ae40bc37775d001cd3a3076)
on aura pareillement
![{\displaystyle (x'+l)^{-l-x'-{\frac {1}{2}}}=c^{-l-{\frac {l^{2}}{2x'}}}x'^{-l-x'-{\frac {1}{2}}}\left(1-{\frac {l}{2x'}}+{\frac {l^{3}}{6x'^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a90c4a12aa211c63a7d272e7ff936aee69fe95)
On a ensuite, par ce qui précède,
étant moindre que l’unité ; en faisant donc
sera compris dans les limites
et
et par conséquent il sera, abstraction faite du signe,