au-dessous de l’unité. La valeur de
donne
on aura donc, par l’analyse précédente,
![{\displaystyle p^{x-l}(1-p)^{x'+l}={\frac {x^{x-l}x'^{x'+l}}{n^{n}}}\left(1+{\frac {nzl}{xx'}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5778d3ef843b207ed0f0a2057d3254a0083b9fec)
de là on tire
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots (x-l).1.2.3\ldots (x'+l)}}p^{x-l}(1-p)^{x'+l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5302d8d2b10354ee8b426f186cd2d4399049e26d)
![{\displaystyle ={\frac {{\sqrt {n}}c^{-{\frac {nl^{2}}{2xx'}}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2xx'}}}}\left[1+{\frac {nzl}{xx'}}+{\frac {l(x'-x)}{2xx'}}-{\frac {l^{3}}{6x^{2}}}+{\frac {l^{3}}{6x'^{2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b528055f82edeac7205df527dec7c9c82c5cd94a)
On aura le terme antérieur au plus grand terme et qui en est éloigné à la distance
en faisant
négatif dans cette équation ; en réunissant ensuite ces deux termes, leur somme sera
![{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {n}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2xx'}}}}c^{-{\frac {nl^{2}}{2xx'}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abd98fcc710725d36a8860a1772e490062f6ac9)
L’intégrale finie
![{\displaystyle \sum {\frac {2{\sqrt {n}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2xx'}}}}c^{-{\frac {nl^{2}}{2xx'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703d546be0ed23f83ff2086824133a59c7177802)
prise depuis
inclusivement, exprimera donc la somme de tous les termes du binôme
comprise entre les deux termes, dont l’un a
pour facteur, et l’autre a
pour facteur, et qui sont ainsi équidistants du plus grand terme ; mais il faut retrancher de cette somme le plus grand terme qui y est évidemment compris deux fois.
Maintenant, pour avoir cette intégrale finie, nous observerons que l’on a, par le no 10 du Livre Ier,
étant fonction de
![{\displaystyle \sum y={\frac {1}{c^{\frac {dy}{dt}}-1}}=\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{-1}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{0}-{\frac {1}{12}}{\frac {dy}{dt}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb96e1a2b0e3560c46e8fe5c6e77fa000252ab1)
d’où l’on tire, par le même numéro,
![{\displaystyle \sum y=\int ydl-{\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{12}}{\frac {dy}{dl}}+\ldots +\mathrm {const.} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0059e1551caccdab30da5f2e4a6ab8cbe4baf07)