Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/486

$x=0$ jusqu’à $x=n,$ l’équation précédente donnera toutes les valeurs de $z_{x,1},z_{x,2},\ldots ,$ en observant que, les valeurs négatives de $x$ étant impossibles, $z_{x,r}$ est nul lorsque $x$ est négatif.

Si $n$ est un très grand nombre, cette équation se transforme dans une équation aux différences partielles, que l’on obtient ainsi. On a alors, à très peu près,

${\begin{aligned}z_{x+1,r}=&z_{x,r}+{\frac {\partial z_{x,r}}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}z_{x,r}}{\partial x^{2}}},\\z_{x-1,r}=&z_{x,r}-{\frac {\partial z_{x,r}}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}z_{x,r}}{\partial x^{2}}},\\z_{x,r+1}=&z_{x,r}+{\frac {\partial z_{x,r}}{\partial r}}.\end{aligned}}$

Soient

$x={\frac {n+\mu {\sqrt {n}}}{2}},\qquad r=nr',\qquad z_{x,r}=\mathrm {U} \,;$

l’équation précédente aux différences finies partielles deviendra, en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{n^{2}}},$

${\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial r'}}=2\mathrm {U} +2\mu {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \mu }}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial \mu ^{2}}}.$

Pour intégrer cette équation, qui, comme on peut s’en assurer par la méthode que j’ai donnée pour cet objet, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de l’année 1773, n’est intégrale en termes finis qu’au moyen d’intégrales définies, faisons

$\mathrm {U} =\int \varphi dtc^{-\mu t},$

$\varphi$ étant fonction de $t$ et de $r'.$ On aura

${\begin{aligned}2\mu {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \mu }}=&2c^{-\mu t}t\varphi -2\int c^{-\mu t}(\varphi dt+td\varphi ),\\{\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial \mu ^{2}}}=&\int c^{-\mu t}t^{2}\varphi dt\,;\end{aligned}}$

l’équation aux différentielles partielles en $\mathrm {U}$ devient ainsi

$\int c^{-\mu t}{\frac {\partial \varphi }{\partial r'}}dt=2c^{-\mu t}t\varphi +\int c^{-\mu t}dt\left(t^{2}\varphi -2t{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right).$