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En égalant entre eux les termes affectés du signe $\int /,$ on aura l’équation aux différentielles partielles

${\frac {\partial \varphi }{\partial r'}}=t^{2}\varphi -2t{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.$

Le terme hors du signe $\int ,$ égalé à zéro, donnera, pour l’équation aux limites de l’intégrale.

$0=t\varphi c^{-\mu t}.$

L’intégrale de l’équation précédente aux différentielles partielles de $\varphi$ est

$\varphi =c^{{\frac {1}{4}}t^{2}}\psi \left({\frac {t}{c^{2r'}}}\right),$

$\psi \left({\frac {t}{c^{2r'}}}\right)$ étant une fonction arbitraire de ${\frac {t}{c^{2r'}}}\,;$ on a donc

$\mathrm {U} =\int dtc^{-\mu t+{\frac {1}{4}}t^{2}}\psi \left({\frac {t}{c^{2r'}}}\right).$

Soit

$t=2\mu +2s{\sqrt {-1}}$

l’expression de $\mathrm {U}$ prendra cette forme

(A)

$\mathrm {U} =c^{-\mu ^{2}}\int dsc^{-s^{2}}\Gamma \left({\frac {s-\mu {\sqrt {-1}}}{c^{2r'}}}\right).$

Il est facile de voir que l’équation précédente, aux limites de l’intégrale, exige que les limites de l’intégrale relative à $s$ soient prises depuis $s=-\infty$ jusqu’à $s=\infty .$ En prenant le radical ${\sqrt {-1}}$ avec le signe $-,$ on aurait pour $\mathrm {U}$ une expression de cette forme

$\mathrm {U} =c^{-\mu ^{2}}\int dsc^{-s^{2}}\Pi \left({\frac {s+\mu {\sqrt {-1}}}{c^{2r'}}}\right),$

la fonction arbitraire $\Pi (s)$ pouvant être différente de $\Gamma (s).$ La somme de ces deux expressions de $\mathrm {U}$ sera sa valeur complète. Mais il est facile de s’assurer que, les intégrales étant prises depuis $s=-\infty$ jusqu’à $s=\infty ,$ l’addition de cette nouvelle expression de $\mathrm {U}$ n’ajoute rien à la généralité de la première, dans laquelle elle est comprise.