Telle est donc l’intégrale de l’équation aux différences partielles, représentée par l’égalité à zéro de δ placé devant une fonction de n et de n’, et il est clair que, pour cette égalité, la fonction des indices dans A doit être telle qu’en y diminuant l’indice n de l’unité, en l’ajoutant à cette fonction dans laquelle n' est diminué de l’unité et en retranchant de cette somme le double de la fonction elle-même, le reste soit nul ; ce qui donne la fonction de n et de n’ égale à la moitié de cette fonction dans laquelle n est diminué de l’unité, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle n’est diminué de l’unité. C’est l’équation aux différences partielles, représentée par la condition de δ nul.
Cette équation est celle à laquelle on est conduit par la considération du problème proposé par Pascal à Fermat, et dont nous avons parlé ci-dessus : n et n’ sont ici les coups qui manquent au premier et au second joueur pour gagner la partie, et la fonction de ces indices est la probabilité qu’elle sera gagnée par le premier joueur. Cette probabilité devient l’unité, lorsque n est nul, et jamais, n étant nul, n’ ne peut être zéro ou négatif, en sorte qu’il faut rejeter de l’intégrale précédente tous les termes dans lesquels cela existe. De là il suit que la probabilité du premier joueur pour gagner la partie est égale aux n’ premiers termes du binôme deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins. Telle est la solution générale de ce problème.
De plus amples développements de la méthode que nous venons d’exposer seraient difficilement entendus sans le secours de l’Analyse. Nous observerons seulement que, A exprimant une fonction de la variable t, développée en série ; B étant l’unité divisée par la variable, moins un, et C étant l’unité divisée par la puissance i de la variable, moins un ; le produit de A par une puissance quelconque n de B sera la fonction génératrice des différences nièmes des coefficients de la série A, l’indice variant de l’unité ; le produit de A par une puissance n’ de C sera la fonction génératrice des différences nièmes des mêmes coefficients, l’indice variant de i. Ainsi, δ et Δ étant supposés être les caractéristiques correspondantes à B et à C, toutes les équations identiques que l’on peut former entre B et C donneront, en y changeant ces
