leur division revient à soustraire l’exposant de la puissance diviseur de celui de la puissance dividende, lorsque le second de ces exposants surpasse le premier. Wallis étendit ce résultat au cas où le premier exposant égale ou surpasse le second, ce qui rend la différence nulle ou négative. Il supposa donc qu’un exposant négatif indique l’unité divisée par la quantité élevée au même exposant pris positivement. Ces remarques le conduisirent à intégrer généralement les différentielles monômes, d’où il conclut les intégrales définies d’un genre particulier de différentielles binômes dont l’exposant est un nombre entier positif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment ces intégrales, une série d’interpolations et d’inductions heureuses, où l’on aperçoit le germe du calcul des intégrales définies, qui a tant exercé les géomètres, et l’une des bases de ma nouvelle Théorie des Probabilités, lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, exprimé par un produit infini qui, lorsqu’on l’arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus rapprochées, résultat l’un des plus singuliers de l’Analyse. Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les exposants fractionna ires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l’avait fait avant lui. Newton, si je ne me trompe, employa, le premier, dans ses Lettres à Oldenburg, la notation de ces puissances par des exposants fractionna ires. En comparant par la voie de l’induction, dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances du binôme avec les coefficients des termes de son développement dans le cas où cet exposant est entier et positif, il détermina la loi de ces coefficients, et il retendit, par analogie, aux puissances fractionna ires et négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation de Descartes, montrent son influence sur les progrès de l’Analyse. Elle a encore l’avantage de donner l’idée la plus simple et la plus juste des logarithmes, qui ne sont, en effet, que les exposants d’une grandeur dont les puissances successives, en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représenter tous les nombres.
Mais l’extension la plus importante que cette notation ait reçue est
