logie, employées depuis longtemps par les géomètres, d’abord avec une extrême réserve, ensuite avec une entière confiance, un grand nombre d’exemples en ayant justifié l’emploi. Cependant il est toujours nécessaire de confirmer par des démonstrations directes les résultats obtenus par ces divers moyens.
J’ai nommé Calcul des fonctions génératrices l’ensemble des méthodes précédentes ; ce calcul sert de fondement à l’Ouvrage que j’ai publié sous ce titre : Théorie analytique des Probabilités. Il se rattache à l’idée simple d’indiquer les multiplications répétées d’une quantité par elle-même ou ses puissances entières et positives, en écrivant vers le haut de la lettre qui l’exprime les nombres qui marquent les degrés de ces puissances. Cette notation, employée par Descartes dans sa Géométrie et généralement adoptée depuis la publication de cet important Ouvrage, est peu de chose, surtout quand on la compare à la théorie des courbes et des fonctions variables, par laquelle ce grand géomètre a posé les fondements des calculs modernes. Mais la langue de l’Analyse, la plus parfaite de toutes, étant par elle-même un puissant instrument de découvertes, ses notations, lorsqu’elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont autant de germes de nouveaux calculs. C’est ce que cet exemple rend sensible.
Wallis, qui, dans son Ouvrage intitulé : Arithmetica infinitorum, l’un de ceux qui ont le plus contribué aux progrès de l’Analyse, s’est attaché spécialement à suivre le fil de l’induction et de l’analogie, considéra que, si l’on divise l’exposant d’une lettre par deux, par trois, etc., le quotient sera, suivant la notation cartésienne et lorsque la division est possible, l’exposant de la racine carrée, cubique, etc., de la quantité que représente la lettre élevée à l’exposant dividende. En étendant, par analogie, ce résultat au cas où la division n’est pas possible, il considéra une quantité élevée à un exposant fractionna ire comme la racine du degré indiqué par le dénominateur de cette fraction de la quantité élevée à la puissance indiquée par le numérateur. Il observa ensuite que, suivant la notation cartésienne, la multiplication de deux puissances d’une même lettre revient à ajouter leurs exposants, et que
