enfin on a
Cela posé, on trouve, après toutes les réductions,
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\sqrt {\frac {p^{3}}{qp'(p-q)(p+p')2\pi }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad70b36a46df4af0217d6d8f1f1fb62521212db)
![{\displaystyle \times {\frac {\left(1+{\cfrac {z}{q+q'}}\right)^{q+q'+z+{\frac {1}{2}}}\left(1-{\cfrac {z}{p+p'-q-q'}}\right)^{p+p'-q-q'-z+{\frac {1}{2}}}}{\left(1+{\frac {z}{q'}}\right)^{q'+z+{\frac {1}{2}}}\left(1-{\frac {z}{p'-q'}}\right)^{p'-q'-z+{\frac {1}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c1a57174fb02886a26530578aaac906ad3762a)
Si l’on prend le logarithme hyperbolique du second membre de cette équation, que l’on réduise ce logarithme en série ordonnée par rapport aux puissances de
et que l’on néglige les puissances supérieures au carré, on aura, en repassant du logarithme à la fonction,
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\sqrt {\frac {p^{3}}{qp'(p-q)(p+p')2\pi }}}\left[1+{\frac {(2q-p)p^{2}z}{2qp'(p-q)(p+p')}}\right]c^{\frac {-p^{2}z^{2}}{2qp'(p-q)(p+p')}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698788e6b39572b2e6c1db6c513317b33d288ed8)
étant supposés de très grands nombres de l’ordre
le coefficient de
est très petit de l’ordre
celui de
est très petit et du même ordre. Mais, si l’on suppose
de l’ordre
on pourra négliger, dans l’expression précédente, le terme dépendant de la première puissance de
comme très petit de l’ordre
De plus, ce terme se détruit lui-même, lorsque l’on a égard à la fois aux valeurs positives et négatives de
En le négligeant donc, on aura
![{\displaystyle 2{\sqrt {\frac {p^{3}}{qp'(p-q)(p+p')2\pi }}}\int dzc^{-{\frac {p^{2}z^{2}}{2qp'(p-q)(p+p')}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4f737c1f5fe23a13fdfc884d32c5f509b03e3b)
pour l’expression de la probabilité que, sur
individus de l’âge
le nombre de ceux qui parviendront à l’âge
sera compris dans les limites
l’intégrale étant prise depuis
nul.
Supposons maintenant que l’on ait trouvé par l’observation que, sur
individus de l’âge
vivaient encore à l’âge
et
à l’âge
on demande la probabilité que, sur d’individus du même âge
vivront à l’âge
et
vivront à l’âge