quent, est égale à
![{\displaystyle (1)\quad {\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{l\varpi {\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf36bfa7423d385a1fa10df5a7e4891b35d2fa93)
![{\displaystyle \times \left\{c^{\mu \varpi {\sqrt {-1}}}\left[{\begin{aligned}\varphi \left({\frac {0}{a}}\right)&+\varphi \left({\frac {1}{a}}\right)c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots +\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{-x\varpi {\sqrt {-1}}}\\&\ldots +\varphi \left({\frac {a}{a}}\right)c^{-a\varpi {\sqrt {-1}}}\end{aligned}}\right]\right\}^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6eaf2438b7a5da4c1976c68f211de5f5a985ec)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à ![{\displaystyle \varpi =\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5ed0976a4b1581e70206e9b22b8a79cba6af8a)
Si l’on prend dans cette intégrale le logarithme hyperbolique de la quantité sous le signe
élevée à la puissance
on aura, en développant les exponentielles en séries, ce logarithme égal à
![{\displaystyle (2)\quad n\mu \varpi {\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00bfab446049420d896cedd257c0e099e728a580)
![{\displaystyle +n\log \left[\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)-\varpi {\sqrt {-1}}\int x\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)-{\frac {\varpi ^{2}}{2}}\int x^{2}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff472dbf330f2439e62cda26c9600f953c4c99a)
le signe
se rapportant ici à toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
Si l’on fait
et si l’on observe que, la variation de
étant l’unité, on a
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)=&a\int dx'\varphi (x'),\\\int x\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)=&a^{2}\int x'dx'\varphi (x'),\\\int x^{2}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)=&a^{3}\int x'^{2}dx'\varphi (x'),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e14e0641e3bf976c1f37c977839b30a0101d95)
les intégrales relatives à
étant prises depuis
jusqu’às
Nommons
ces intégrales successives ; la probabilité que la durée de la vie d’un enfant sera comprise dans les limites zéro et
est
ou
or cette probabilité est la certitude elle-même ; on a donc
Cela posé, la fonction (2) devient
![{\displaystyle n\mu \varpi {\sqrt {-1}}+n\log \left(1-{\frac {k'}{k}}a\varpi {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{k}}{\frac {a^{2}\varpi ^{2}}{2}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6949b741a9afc883f3db3bc2c257020a32226b63)
ou
![{\displaystyle \left({\frac {n\mu }{a}}-{\frac {nk'}{k}}\right)a\varpi {\sqrt {-1}}-n{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}a^{2}\varpi ^{2}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe68838ebc840ac080853a07990d157b677f0522)