Si l’on fait
![{\displaystyle \mu ={\frac {ak'}{k}}={\frac {a^{2}k'}{ak}}=a^{2}k',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0f013305121d87f73c3346c93e916f68b7420c)
la première puissance de
disparaît, et de plus,
étant supposé un très grand nombre, on peut s’arrêter à la seconde puissance de
la fonction (1) devient ainsi, en repassant des logarithmes aux nombres,
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{l\varpi {\sqrt {-1}}-n{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}a^{2}\varpi ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e8adf47dd5f2ef3869e5e3824a803ab3f65d1c)
Si l’on fait
![{\displaystyle {\text{ϐ}}^{2}={\frac {k^{2}}{2\left(kk''-k'^{2}\right)}},\qquad t={\frac {a\varpi {\sqrt {n}}}{2{\text{ϐ}}}}-{\frac {{\text{ϐ}}l{\sqrt {-1}}}{a{\sqrt {n}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c905fa50a233edb74cf38210a976cff6b5a8fd1b)
cette intégrale devient, en la prenant depuis
jusqu’à ![{\displaystyle t=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50d2cb9de9eef70572af55a89d21906877d8406)
![{\displaystyle {\frac {\text{ϐ}}{a{\sqrt {n\pi }}}}c^{-{\frac {{\text{ϐ}}^{2}l^{2}}{a^{2}n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025340dca90f384330305c46b15024487ec772ab)
En la multipliant par
et faisant
on aura
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int {\text{ϐ}}drc^{-{\text{ϐ}}^{2}r^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213ac1f528a242dac6f484d2b4d383f7044833c5)
pour la probabilité que la somme des âges auxquels les
enfants parviendront sera comprise dans les limites ![{\displaystyle na^{2}k'\pm ar{\sqrt {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad986234c7859ae2c8c36a503e00ed913fafa3ab)
La quantité
ou
est la somme des produits de chaque âge par la probabilité d’y parvenir ; elle est donc la vraie durée de la vie moyenne ; ainsi la probabilité que la somme des âges auxquels les
enfants cesseront de vivre, divisée par leur nombre, est comprise dans ces limites
Vraie durée de la vie moyenne, plus ou moins
![{\displaystyle {\frac {ar}{\sqrt {n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f089ce24e78f4f9ed0884f06c99d836104665b39)
a pour expression
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int {\text{ϐ}}drc^{-{\text{ϐ}}^{2}r^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed2f530cb92fe06054f07445ec4660c80276ebf)