celles de
et de
trouvées ci-dessus ; elle est donc égale à
![{\displaystyle {\frac {c^{-{\frac {z^{2}}{2p'\varphi \left(1-\varphi \right)}}-{\frac {l^{2}}{2n\varphi ^{2}\left(1-\varphi ^{2}\right)}}}}{2\pi {\sqrt {np'\varphi ^{3}(1-\varphi )^{2}(1+\varphi )}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e480dc3ac012ec6e15984f0602ac91f0b508e4)
Ayant suppose précédemment
on aura
en substituant donc pour
sa valeur tirée de cette équation et observant que l’on a à très peu près
on aura, pour la probabilité que la valeur de
sera comprise dans des limites données, l’expression intégrale
![{\displaystyle {\frac {\iint dzdsc^{-{\frac {z^{2}}{2\varphi \left(1-\varphi \right)p'}}-{\frac {\left(s+{\frac {2nq'z}{p'^{2}}}\right)^{2}}{2n\varphi ^{2}\left(1-\varphi ^{2}\right)}}}}{2\pi {\sqrt {np'\varphi ^{3}(1-\varphi )^{2}(1+\varphi )}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa232af6a17f52b1e96f6aa64feddb493daeae0)
l’intégrale relative à
pouvant être prise depuis
jusqu’à
De là, il est facile de conclure, par les méthodes exposées précédemment, que, si l’on fait
![{\displaystyle k^{2}={\frac {p'}{2n\varphi ^{2}\left(1-\varphi \right)\left[p'+(p'+4n)\varphi \right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02880cd76461ef55e696ab7b9d3ab56431ef73ad)
l’intégrale précédente devient
![{\displaystyle \int {\frac {kds}{\sqrt {\pi }}}c^{-k^{2}s^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6b05f456ca208c59fc6ec08d5dde70ba401c29)
ainsi la probabilité que l’erreur de l’expression
sera
est
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int kdsc^{-k^{2}s^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0733657b320b94715ea3868e951ee2f294383a)
l’intégrale étant prise depuis
nul.
L’analyse précédente s’applique également à la durée moyenne d’un grand nombre d’associations formées de trois individus ou de quatre individus, etc. Soit
ce nombre, et supposons que tous les associés soient du même âge a au moment de l’association ; désignons par
le nombre des individus de la Table de mortalité de l’âge a, et par
le