CHAPITRE IX.
des bénéfices dépendants de la probabilité des événements futurs.
38. Concevons que l’arrivée d’un événement procure le bénéfice
et que sa non-arrivée cause la perte
Une personne
attend l’arrivée d’un nombre
d’événements semblables, tous également probables, mais indépendants les uns des autres ; on demande quel est son avantage.
Soient
la probabilité de l’arrivée de chaque événement et par conséquent
celle de sa non-arrivée ; si l’on développe le binôme
le terme
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots s}{1.2.3\ldots i.1.2.3\ldots (s-i)}}q^{i}(1-q)^{s-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0013f7e4c2b4151d3fc959d5051e056c6c1512c1)
de ce développement sera la probabilité que sur les
événements arriveront. Dans ce cas, le bénéfice de
est
et sa perte est
la différence est
en la multipliant par sa probabilité exprimée par le terme précédent et prenant la somme de ces produits pour toutes les valeurs de
on aura l’avantage de
qui, par conséquent, est égal à
![{\displaystyle -s\mu [q+(1-q)]^{s}+(\nu +\mu )\mathrm {S} {\frac {i.1.2.3\ldots s}{1.2.3\ldots i.1.2.3\ldots (s-i)}}q^{i}(1-q)^{s-i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac0e3527ce5a7b4ea41417b054027501784e276)
le signe
s’étendant à toutes les valeurs de
On a
![{\displaystyle \mathrm {S} {\frac {i.1.2.3\ldots s}{1.2.3\ldots i.1.2.3\ldots (s-i)}}q^{i}(1-q)^{s-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47a81bb1c6680722d08ffdee19a123ea6a2fa1d)
![{\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\mathrm {S} {\frac {1.2.3\ldots s}{1.2.3\ldots i.1.2.3\ldots (s-i)}}q^{i}t^{i}(1-q)^{s-i}={\frac {d}{dt}}[qt+(1-q)]^{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac8aedc728e4a0dbe80ed79030457f35fdc550c)