pourvu que l’on suppose
après la différentiation, ce qui réduit ce dernier membre à
l’avantage de
est donc
Cet avantage est nul, si
c’est-à-dire, si le bénéfice de l’arrivée de l’événement, multiplié par sa probabilité, est égal à la perte causée par sa non-arrivée, multipliée par sa probabilité. L’avantage devient négatif et se change en désavantage, si le second produit surpasse le premier. Dans tous les cas, l’avantage ou le désavantage de
est proportionnel au nombre
des événements.
On déterminera par l’analyse du no 16 la probabilité que le bénéfice réel de
sera compris dans des limites données, si
est un grand nombre. Suivant cette analyse, la somme des divers termes du binôme
compris entre les deux termes distants de
de part et d’autre du plus grand, est
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dtc^{-t^{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2s\pi q(1-q)}}}c^{-{\frac {l^{2}}{2sq(1-q)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c997af30a87f3709e3189d7640bc55680d5eea81)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
L’exposant de
dans le plus grand terme est à très peu près, par le même numéro, égal à
et les exposants de
correspondants aux termes extrêmes compris dans l’intervalle précédent, sont respectivement
et
Les bénéfices correspondants à ces trois termes sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}&s\left[q\nu -(1-q)\mu \right]-l(\nu +\mu ),\\&s\left[q\nu -(1-q)\mu \right],\\&s\left[q\nu -(1-q)\mu \right]+l(\nu +\mu )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e8b06ccdf2846814c95111b404b5979f86333e)
en faisant donc
la probabilité que le bénéfice réel de
n’excédera pas les limites
est égale à
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\int drc^{-{\frac {r^{2}}{2q(1-q)}}}}{\sqrt {2q(1-q)}}}+{\frac {1}{\sqrt {2s\pi q(1-q)}}}c^{-{\frac {r^{2}}{2q(1-q)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f572a5ba052068fc8cff9a81fc1eae8a745b9c)
l’intégrale étant prise depuis
et le dernier terme pouvant être négligé. On voit par cette formule que si
n’est pas nul,