sera
Mais, si l’on représente par l’unité sa fortune physique, indépendamment de son expectative, sa fortune morale sera, par ce qui précède,
![{\displaystyle kp\log(1+\varepsilon )+\log h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3999e2f29aefa708a9cca82d3b54a7f6c95ae115)
et son avantage moral sera, en vertu de son expectative,
![{\displaystyle (1+\varepsilon )^{p}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba00dd95330d49a1a7700a7584ec07631ffb7227)
quantité plus petite que
car on a
![{\displaystyle (1+\varepsilon )^{p}<1+p\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fb2c5edccc527c8ac8833d67bfa30f509c2dbf)
puisque
ou
est moindre que
ce qui est évident, lorsqu’on met ces deux logarithmes sous les formes
et ![{\displaystyle \int {\frac {pd\varepsilon }{1+\varepsilon }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc66fb6b0fda0ba19fb6a33bf1e4ade5a8540084)
Supposons maintenant que le négociant expose la somme
par parties égales, sur
vaisseaux. Sa fortune physique deviendra
si tous les vaisseaux arrivent, et la probabilité de cet événement est
Si
vaisseaux arrivent, la fortune physique du négociant devient
et la probabilité de cet événement est
Si
vaisseaux arrivent, la fortune physique du négociant, devient
et la probabilité de cet événement est
et ainsi de suite ; la fortune morale du négociant est donc, par ce qui précède,
![{\displaystyle k\left\{{\begin{aligned}p^{r}&\log(1+\varepsilon )+rp^{r-1}(1-p)\log(1+{\frac {(r-1)}{r}}\varepsilon \\&+{\frac {r(r-1)}{1.2}}p^{r-2}(1-p)^{2}\log(1+{\frac {(r-2)}{r}}\varepsilon +\ldots \end{aligned}}\right\}+\log h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2cecec11a86c505df3c6860fdb5f5ae66df820)
expression que l’on peut mettre sous cette forme
![{\displaystyle (a)\ kp\int d\varepsilon \times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0154ac05ee5c7c6622f015f3cd0723dbcb9af9)
![{\displaystyle \left[{\frac {p^{r-1}}{1+\varepsilon }}+{\frac {(r-1)p^{r-2}(1-p)}{1+{\cfrac {(r-1)}{r}}\varepsilon }}+{\frac {(r-1)(r-2)p^{r-3}(1-p)^{2}}{1.2.\left(1+{\cfrac {(r-2)}{r}}\varepsilon \right)}}+\ldots \right]+\log h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701f2f4ef9ae6bc38318855e68dab1dd282db78e)
Si l’on retranche de cette expression celle de la fortune morale du né-