gociant lorsqu’il expose la somme
sur un seul vaisseau, et que l’on obtient en faisant
dans la précédente, ce qui, abstraction faite de
réduit celle-ci à
qui est égal à
![{\displaystyle kp\int d\varepsilon \times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2434f6d9ca53bdd8f5f458ae271d4f2c9dc7c6b8)
![{\displaystyle \left[{\frac {p^{r-1}}{1+\varepsilon }}+{\frac {(r-1)p^{r-2}(1-p)}{1+\varepsilon }}+{\frac {(r-1)(r-2)p^{r-3}(1-p)^{2}}{1.2.(1+\varepsilon )}}+\ldots \right]+\log h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29605434e6a52707e0438d3544dbcf21bb15596b)
la différence sera
![{\displaystyle kp(1-p){\frac {r-1}{r}}\int {\frac {\varepsilon d\varepsilon }{1+\varepsilon }}\left[{\frac {p^{r-2}}{1+{\cfrac {(r-1)}{r}}\varepsilon }}+{\frac {(r-2)p^{r-3}(1-p)}{1+{\cfrac {(r-2)}{r}}\varepsilon }}+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43307d3cee9596ab32a3648ee593808ebc0ac69)
cette différence étant positive, on voit qu’il y a moralement de l’avantage à partager la somme
sur plusieurs vaisseaux. Cet avantage s’accroît à mesure que l’on augmente le nombre
des vaisseaux, et, si ce nombre est très grand, l’avantage moral devient à peu près égal à l’avantage mathématique.
Pour le faire voir, reprenons la formule
et donnons-lui cette forme
![{\displaystyle (a')\qquad \qquad kp\iint dxd\varepsilon c^{-\left(1+{\frac {\varepsilon }{r}}\right)x}\left(pc^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+1-p\right)^{r-1}+\log h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c01f85031f54c79787e8b4f78d50d6c87a2d86)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
nul jusqu’à
infini. Dans cet intervalle, le coefficient de
sous les signes
n’a ni maximum ni minimum ; car sa différentielle prise par rapport à
est
![{\displaystyle -c^{-\left(1+{\frac {\varepsilon }{r}}\right)x}dx\left(pc^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+1-p\right)^{r-2}\left[p(1+\varepsilon )c^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+(1-p)\left(1+{\frac {\varepsilon }{r}}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5018650c4b8e5516dd9d46abbbeb537c0e06943)
cette différentielle est constamment négative depuis
jusqu’à
infini ; ainsi le coefficient lui-même diminue constamment dans cet intervalle. C’est donc ici le cas de faire usage de la formule (A) du no 22 du Livre Ier, pour avoir, par une approximation convergente, l’intégrale
étant égal à
![{\displaystyle c^{-\left(1+{\frac {\varepsilon }{r}}\right)x}\left(pc^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+1-p\right)^{r-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f3e5c8441c60362d366cc0cc4bd2d029581a2f)