déterminer le rapport de
à ϐ ; or on a, par le no 40,
![{\displaystyle q={\text{ϐ}}\sum p^{x}y_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac24eceec20a77facb0784c54632199bf3079e3)
étant l’intérêt annuel de l’argent. On a ensuite, par le même numéro,
![{\displaystyle 2q={\text{ϐ}}'\sum p^{x}\left[2y_{x}-(y_{x})^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ea4d7f73e1d3301cf1e915f7acb10e3a7d247f)
on a donc
![{\displaystyle {\text{ϐ}}'={\frac {2{\text{ϐ}}\sum p^{x}y_{x}}{\sum p^{x}\left[2y_{x}-(y_{x})^{2}\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db992603e02c93d68eb4b356319546a77a4bbb0e)
Les Tables de mortalité donneront les valeurs de ![{\displaystyle \sum y_{x},\sum (y_{x})^{2},\sum p^{x}y_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb150f2f5b5437701ea79c3c50d166615e80a22)
on pourra ainsi juger lequel des deux placements dont il s’agit est le plus avantageux.
Supposons ϐ et
de très petites fractions ; la quantité
devient à très peu près ϐ
La quantité
![{\displaystyle \log \left(1+{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}'\right)\sum (y_{x})^{2}+\log(1+{\text{ϐ}}')\left[\sum y_{x}-\sum (y_{x})^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a508060e8e05d9c528699e5abb78a0726d3c25fd)
devient
![{\displaystyle {\frac {{\text{ϐ}}'}{2}}\left[2\sum y_{x}-\sum (y_{x})^{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414b46885b745ff6861243aa02176206b673cb9f)
et, en substituant pour
sa valeur précédente, elle devient
![{\displaystyle {\text{ϐ}}{\frac {\left[2\sum y_{x}-\sum (y_{x})^{2}\right]\sum p^{x}y_{x}}{2\sum p^{x}y_{x}-\sum p^{x}(y_{x})^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2fd033bd70b8e2fd1c79c563962cce158f9628)
il y a donc de l’avantage à placer conjointement, si
![{\displaystyle \left[2\sum y_{x}-\sum (y_{x})^{2}\right]\sum p^{x}y_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c39d200138a5b35c487a769fbd2763d61da6c38)
l’emporte sur
![{\displaystyle \left[2\sum p^{x}y_{x}-\sum p^{x}(y_{x})^{2}\right]\sum y_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f69712db2aae90070e2f254711f725b323ee51)
ou si l’on a
![{\displaystyle {\frac {\sum p^{x}(y_{x})^{2}}{\sum p^{x}y_{x}}}>{\frac {\sum (y_{x})^{2}}{\sum y_{x}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de15ccbe2dadcb26f4ea1c4d8ef57e21eb14d4aa)
c’est en effet ce qui a lieu généralement,
étant plus petit que l’unité.
L’avantage de placer conjointement les capitaux s’accroît par la considération que l’augmentation
de revenu arrive au survivant, à un