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Cette constante doit être déterminée de manière que le second membre de cette équation soit nul lorsque $x$ est nul : or on a, par ce qui précède,

$\cos(n\pm z)x-n\cos(n-2\pm z)x+\ldots =(-1)^{i}2^{2i}(\sin x)^{n}\cos zx.$

En différenciant cette équation par rapport à $x,$ on a

$-[(n\pm z)\sin(n\pm z)x-n(n-2\pm z)\sin(n-2\pm z)x+\ldots ]$

$=(-1)^{i}2^{2i}{\frac {d\left[(\sin x)^{n}\cos zx\right]}{dx}}\,;$

différenciant encore, on a

$-[(n\pm z)^{2}\cos(n\pm z)x-n(n-2\pm z)^{2}\cos(n-2\pm z)x+\ldots ]$

$=(-1)^{i}2^{2i}{\frac {d^{2}\left[(\sin x)^{n}\cos zx\right]}{dx^{2}}},$

et ainsi de suite : or on a, aux deux limites $x=0$ et $x$ infini.

${\begin{aligned}&x^{-n-{\frac {m}{n}}+1}\quad \ \ (\sin x)^{n}\cos zx=0,\\&x^{-n-{\frac {m}{n}}+2}{\frac {d\left[(\sin x)^{n}\cos zx\right]}{dx}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

On a donc, en intégrant depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini,

$\int x^{-{\frac {m}{n}}}dx\cos zx\left({\cfrac {\sin x}{x}}\right)^{n}$

$={\frac {1}{2^{2i}\left(n+{\cfrac {m}{n}}-1\right)\ldots {\cfrac {m}{n}}}}$

$\times \int x^{-{\frac {m}{n}}}dx\left\{{\begin{aligned}&(n\pm z)^{n}\cos(n\pm z)x\\-&n(n-2\pm z)^{n}\cos(n-2\pm z)x\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\pm &{\frac {1}{2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-i+1)}{1.2.3\ldots i}}z^{n}\cos(\pm zx)\end{aligned}}\right\}.$