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Maintenant on a, en faisant $(n-2r\pm z)x=x',$

$\int x^{-{\frac {m}{n}}}dx(n-2r\pm z)^{n}\cos(n-2r\pm z)x$

$=(n-2r\pm z)^{n-1+{\frac {m}{n}}}\int dx'x'^{-{\frac {m}{n}}}\cos x'.$

On a de plus, comme nous le démontrerons ci-après,

${\begin{aligned}&\int x'^{-{\frac {m}{n}}}dx'\cos x'=k'\sin {\frac {m\pi }{2n}},\\&\int x'^{-{\frac {m}{n}}}dx'\sin x'=k'\cos {\frac {m\pi }{2n}},\end{aligned}}$

$k'$ étant égal à $\int t^{-{\frac {m}{n}}}dtc^{-t},$ l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini. Cela posé, on aura

${\begin{aligned}\int &x^{-{\frac {m}{n}}}dx\cos zx\left({\cfrac {\sin x}{x}}\right)^{n}\\&={\frac {k'\sin {\cfrac {m\pi }{2n}}}{2^{n}\left(n+{\cfrac {m}{n}}-1\right)\left(n+{\cfrac {m}{n}}-2\right)\ldots {\cfrac {m}{n}}}}\\\\&\times \left\{{\begin{aligned}&(n+z)^{n-1+{\frac {m}{n}}}-n(n+z-2)^{n-1+{\frac {m}{n}}}\\+&{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n+z-4)^{n-1+{\frac {m}{n}}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\pm &{\frac {1}{2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-i+1)}{1.2.3\ldots i}}z^{n}\\+&(n-z)^{n-1+{\frac {m}{n}}}-n(n-z-2)^{n-1+{\frac {m}{n}}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\pm &{\frac {1}{2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-i+1)}{1.2.3\ldots i}}(-z)^{n-1+{\frac {m}{n}}}\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

Il est facile de voir, par l’analyse précédente, que, si $n-z-2r$ est négatif, il faut changer la puissance $(n-z-2)^{n-1+{\frac {m}{n}}}$ dans $(2r+z-n)^{n-1+{\frac {m}{n}}},$ parce que l’on a

$\cos(n-z-2r)x=\cos(2r+z-n)x.$