La tangente
est non seulement la tangente de l’angle
mais encore celle du même angle, augmenté d’un multiple quelconque de la demi circonférence ; mais le premier membre de cette équation devant se réduire à l’unité, lorsque
est nul, il est clair que l’on doit prendre pour
le plus petit des angles qui ont
pour tangente.
Maintenant, cette équation donne, en y substituant
au lieu de
![{\displaystyle {\frac {k'}{a^{1-\omega }\left(1+s{\sqrt {-1}}\right)^{1-\omega }}}={\frac {k'}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\left[\cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}(1-\omega )\sin \mathrm {A} \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5f8770e769a82a942fdd522af1a81ec9686d5f)
on a donc
![{\displaystyle \int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}\left(\cos rx-{\sqrt {-1}}\sin rx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa55593164bfa662f0760e5916b4d6c1872c4cb7)
![{\displaystyle ={\frac {k'}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\left[\cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffef90d6ee45785c55e1ad186bc69d38028c1edc)
En comparant séparément les quantités réelles et les imaginaires, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dx\cos rxc^{-ax}}{x^{\omega }}}={\frac {k'}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\cos(1-\omega )\mathrm {A} ,\\&\int {\frac {dx\sin rxc^{-ax}}{x^{\omega }}}={\frac {k'}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9f34a383e4b9148e6c2c9a555e906f977f37d7)
Si
est nul,
est infini, et le plus petit angle, dont il est la tangente, est
on a donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dx\cos rx}{x^{\omega }}}={\frac {k'}{r^{1-\omega }}}\sin {\frac {\omega \pi }{2}},\\&\int {\frac {dx\sin rx}{x^{\omega }}}={\frac {k'}{r^{1-\omega }}}\cos {\frac {\omega \pi }{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284e88087753043bc18f814e13cb091404632734)
En supposant
et
on aura les équations qu’il s’agissait de démontrer.