tageuse, on a
![{\displaystyle \mathrm {S} p^{(i)}\varepsilon '^{(i)}=0,\quad \mathrm {S} q^{(i)}\varepsilon '^{(i)}=0,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec790e7791cd3c9b14201aca0c77b12253dd779)
on a donc
![{\displaystyle \mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}=\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}+\mathrm {S} \left(p^{(i)}u+q^{(i)}u'+\ldots \right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a93224f8a2c40152cf20d57f3f5b4da0210d28)
en comparant cette valeur de
à sa valeur précédente
on aura
![{\displaystyle a^{2}r{\sqrt {s}}=\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}-{\frac {2k''}{k}}a^{2}s+\mathrm {S} \left(p^{(i)}u+q^{(i)}u'+\ldots \right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741ead03c1d9ab45e7d1c277b84998f62defe0f1)
Faisons
![{\displaystyle \mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}-{\frac {2k''}{k}}a^{2}s=t{\sqrt {s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b5fc6fd595c1d2fba318029ff700d49e4299d9)
![{\displaystyle u={\frac {v}{\sqrt {s}}},\quad u'={\frac {v'}{\sqrt {s}}},\quad u''={\frac {v''}{\sqrt {s}}},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85106d8e26f1451e802019d4880bd6ad01ba85ce)
nous aurons
![{\displaystyle a^{2}r=t+{\frac {\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}{s{\sqrt {s}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d513e2cb45a373b6c963b46224d3539772aa9e56)
L’exponentielle
devient ainsi
![{\displaystyle c^{-{\frac {{\text{ϐ}}'^{2}}{4a^{4}}}\left[t+{\frac {\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}{s{\sqrt {s}}}}\right]^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75a81c29318edd84765597178bf22442dcee67d)
ainsi la probabilité de
est proportionnelle à cette exponentielle.
L’analyse du no 21 du Livre II conduit à ce théorème général, savoir que la probabilité de l’existence simultanée des quantités
est proportionnelle à l’exponentielle
![{\displaystyle c^{-{\frac {k}{4k''a^{2}s}}\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26908f4ccca4d8d7de0c87b67803c3d499e3f13d)
la probabilité de l’existence simultanée de
est donc proportionnelle à
![{\displaystyle c^{-{\frac {{\text{ϐ}}'^{2}}{4a^{4}}}\left[t+{\frac {\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}{s{\sqrt {s}}}}\right]^{2}-{\frac {k}{4k''a^{2}s}}\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011249fb8841423e1496ee7881ee32d77a22cdeb)
En substituant pour
sa valeur
cette exponentielle