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posé n’avoir aucun motif de préférence pour les uns plutôt que pour les autres, la probabilité qu’il choisira le n^o 79 est ${\frac {1}{999}}$ ; en multipliant donc cette probabilité par la précédente, on aura ${\frac {1}{1000}}$ pour la probabilité que le témoin annoncera le n^o 79 dans la seconde hypothèse. Il faut encore multiplier cette probabilité par la probabilité ${\frac {1}{10}}$ de l’hypothèse elle-même, ce qui donne ${\frac {1}{10000}}$ pour la probabilité de l’événement relative à cette hypothèse. Présentement, si l’on forme une fraction dont le numérateur soit la probabilité relative à la première hypothèse, et dont le dénominateur soit la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses, on aura, par le sixième principe, la probabilité de la première hypothèse, et cette probabilité sera ${\frac {9}{10}}$, c’est-à-dire la véracité même du témoin. C’est aussi la probabilité de la sortie du n^o 79. La probabilité du mensonge du témoin et de la non-sortie de ce numéro est ${\frac {1}{10}}$.

Si le témoin, voulant tromper, avait quelque intérêt à choisir le n^o 79 parmi les numéros non sortis, s’il jugeait, par exemple, qu’ayant placé sur ce numéro une mise considérable, l’annonce de sa sortie augmentera son crédit, la probabilité qu’il choisira ce numéro ne sera plus, comme auparavant, ${\frac {1}{999}}$ ; elle pourra être alors ${\frac {1}{2}}$, ${\frac {1}{3}}$, etc., suivant l’intérêt qu’il aura d’annoncer sa sortie. En la supposant ${\frac {1}{9}}$, il faudra multiplier par cette fraction la probabilité ${\frac {999}{1000}}$ pour avoir, dans l’hypothèse du mensonge, la probabilité de l’événement observé, qu’il faut encore multiplier par ${\frac {1}{10}}$, ce qui donne ${\frac {111}{10000}}$ pour la probabilité de l’événement dans la seconde hypothèse. Alors la probabilité de la première hypothèse, ou de la sortie du n^o 79, se réduit, par la règle précédente, à ${\frac {9}{120}}$. Elle est donc très affaiblie par la considération de l’intérêt que le témoin peut avoir à annoncer la sortie du n^o 79. À la vérité, ce même intérêt augmente la probabilité ${\frac {9}{10}}$ que le témoin dira la vérité, si le n^o 79 sort. Mais cette probabilité ne peut excéder l’unité ou ${\frac {10}{10}}$ ; ainsi la probabilité de la sortie du n^o 79 ne surpassera pas ${\frac {10}{121}}$. Le bon sens nous dicte que cet intérêt doit inspirer de la défiance, mais le calcul en apprécie l’influence.

La probabilité a priori du numéro énoncé par le témoin est l’unité