Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/102

Pour résoudre ces équations, on peut faire usage des méthodes ordinaires d’élimination ; mais en voici une qui me paraît plus simple.

Je multiplie la première équation par $^{n-1}\!p,$ et je la retranche de la seconde ; je multiplie pareillement la seconde par $^{n-1}\!p,$ et je la retranche de la troisième, et ainsi de suite, ce qui produit les équations suivantes ;

${\begin{aligned}&{\frac {^{1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}}}-{\frac {\mathrm {M} }{\,\varphi _{1}}}\,^{n-1}p=\mathrm {A} p\left(p-^{n-1}\!p\right)+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p\left(^{1}\!p-^{n-1}\!p\right)+\ldots +^{n-2}\!\mathrm {A} \,^{n-2}\!p\left(^{n-2}\!p-^{n-1}\!p\right),\\&{\frac {^{2}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}}}-{\frac {^{1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}}}\,^{n-1}\!p=\mathrm {A} p^{2}\left(p-^{n-1}\!p\right)+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{2}\left(^{1}\!p-^{n-1}\!p\right)+\ldots +^{n-2}\!\mathrm {A} \,^{n-2}\!p^{2}\left(^{n-2}\!p-^{n-1}\!p\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {^{n-1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\ldots \varphi _{n}}}-{\frac {^{n-2}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\ldots \varphi _{n-1}}}\,^{n-1}\!p=\mathrm {A} p^{n-1}\left(p-^{n-1}\!p\right)+\ldots +^{n-2}\!\mathrm {A} \,^{n-2}\!p^{n-1}\left(^{n-2}\!p-^{n-1}\!p\right).\end{aligned}}$

Je multiplie encore la première de ces équations par $^{n-2}\!p,$ et je la retranche de la seconde ; je multiplie pareillement la seconde par $^{n-2}\!p,$ et je la retranche de la troisième, ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {^{2}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}}}&-{\frac {^{1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}}}\left(^{n-1}\!p+^{n-2}\!p\right)+{\frac {\mathrm {M} }{\varphi _{1}}}\,^{n-1}p\,^{n-2}p\\=&\mathrm {A} p\left(p-^{n-1}\!p\right)\left(p-^{n-2}\!p\right)\\&+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p\left(^{1}\!p-^{n-1}\!p\right)\left(^{1}\!p-^{n-2}\!p\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+^{n-3}\!\mathrm {A} \,^{n-3}\!p\left(^{n-3}\!p-^{n-1}\!p\right)\left(^{n-3}\!p-^{n-2}\!p\right),\\\\{\frac {^{3}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\varphi _{4}}}&-{\frac {^{2}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}}}\left(^{n-1}\!p+^{n-2}\!p\right)+{\frac {^{1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}}}\,^{n-1}p\,^{n-2}p\\=&\mathrm {A} p^{2}\left(p-^{n-1}\!p\right)\left(p-^{n-2}\!p\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+^{n-3}\!\mathrm {A} \,^{n-3}\!p^{2}\left(^{n-3}\!p-^{n-1}\!p\right)\left(^{n-3}\!p-^{n-2}\!p\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

en opérant sur ces dernières équations, comme sur les précédentes,