je la compare avec l’équation
et j’en conclus
![{\displaystyle {\begin{aligned}f=&+\mathrm {C} -p,\\h=&-^{1}\!\mathrm {C} -pf,\\i=&+^{2}\!\mathrm {C} -ph,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60ef8866ebfae3a472151c1059fe869251adfe2)
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}^{1}\!f=&+\mathrm {C} -^{1}\!p,\\^{1}\!h=&-^{1}\!\mathrm {C} -^{1}\!p.^{1}\!f,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbcf161941900ebbba483e69061196a73b988e6)
J’ai supposé jusqu’ici que toutes les racines de l’équation
sont inégales, mais il peut arriver qu’une ou plusieurs de ces racines soient égales entre elles ; voici dans ce cas la méthode qu’il faut suivre.
Je suppose que l’on ait
on fera
et l’équation
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}\left(\mathrm {A} p^{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{x}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{x}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec29ebc765e048c2f8f9e74eb5815c5fb974c59)
donnera, en réduisant
en séries,
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71fdf7c9676b062ce1fe86afedbbf04e4081037a)
![{\displaystyle \times \left\{p^{x}\left[\mathrm {A} +^{1}\!\mathrm {A} \left(1+{\frac {xdp}{p}}+{\frac {x(x-1)}{1.2}}\,{\frac {dp^{2}}{p^{2}}}+\ldots \right)\right]+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{x}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becb8ebdfa9b22e9cfcd28cc8aa7a013ceb97262)
Soient
![{\displaystyle \mathrm {A} +^{1}\!\mathrm {A} =\mathrm {B} \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bc297f21dfedb9402045eb7efc040d55378fe2)
et
![{\displaystyle \quad ^{1}\!\mathrm {A} {\frac {dp}{p}}=\mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce5934fa6ce945aa82a297e521b573c8ea3fdba)
et
étant des constantes arbitraires et finies ;
sera donc infiniment grand de l’ordre
seront infiniment petits. Partant
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}\left[p^{x}\left(\mathrm {B} +\mathrm {D} x\right)+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{x}+^{3}\!\mathrm {A} \,^{3}\!p^{x}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d000b6729c03237fe19dfc49d0b855dd0ab7c698)
Si, de plus, on a
on fera
dans cette expression de
et l’on aura
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71fdf7c9676b062ce1fe86afedbbf04e4081037a)
![{\displaystyle \times \left\{p^{x}\left[\mathrm {B} +^{2}\!\mathrm {A} +\left(\mathrm {D} +^{2}\!\mathrm {A} {\frac {dp}{p}}\right)x+^{2}\!\mathrm {A} {\frac {dp^{2}}{p^{2}}}\,{\frac {x(x-1)}{1.2}}+\ldots \right]+^{3}\!\mathrm {A} \,^{3}\!p^{x}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9476f8724337efee0c3cdb518a1b17b5bb250a5)
Soient
![{\displaystyle ^{2}\!\mathrm {A+B=^{1}\!B} ,\qquad \mathrm {D} +^{2}\!\mathrm {A} {\frac {dp}{p}}=^{1}\!\mathrm {D} \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d849aff58efbde6f69ea9310e31cdf6b15d19c4a)
et
![{\displaystyle ^{\qquad }2\!\mathrm {A} {\frac {dp^{2}}{p^{2}}}=^{1}\!\mathrm {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea8d5f669f85419a35cff97c6096eca4cd41c44)