XII.
Présentement voici un usage fort étendu du Calcul intégral aux différences finies, pour déterminer directement l’expression générale des quantités assujetties à une certaine loi qui sert à les former, expression que jusqu’ici il me semble que l’on a toujours cherché à tirer par voie d’induction, méthode non seulement indirecte, mais qui, de plus, doit être souvent en défaut.
Pour me faire mieux entendre, je prends l’exemple suivant :
Soient
le sinus d’un angle
et
son cosinus ; on a généralement, comme l’on sait,
![{\displaystyle \sin z=2usin(n-1)z-sin(n-2)z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58a89b8ebc46de1396b34330b162dd5f5a9f552)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \ \ z=&x,\\\sin 2z=&x(\ \ 2u),\\\sin 3z=&x\left(\ \ 4u^{2}-1\right),\\\sin 4z=&x\left(\ \ 8u^{3}-4u\right),\\\sin 5z=&x\left(16u^{4}-12u^{2}+1\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2212e20e4f5dc258436b29a155cd85f2e929117)
Il faut maintenant déterminer l’expression générale de ![{\displaystyle \sin nz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c44d5aefefcf4ebaf0c356d6e5c160917374dc)
On peut y parvenir par voie d’induction, en continuant plus loin ces expressions et cherchant à découvrir la loi des différents coefficients des puissances de
mais il arrivera, si ce n’est pas dans cet exemple, au moins dans une infinité d’autres, que cette loi sera très compliquée et très difficile à saisir : il importe conséquemment d’avoir une méthode générale et sûre pour la trouver dans tous les cas possibles.
Soit, pour cela, l’équation différentielle
![{\displaystyle (\nabla )\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}y_{n}&=y_{n-1}\left(\ a_{n}u+b_{n}\right)\\&+y_{n-2}\left(^{1}\!a_{n}u^{2}+^{1}\!b_{n}u+^{1}\!c_{n}\right)\\&+y_{n-3}\left(^{2}\!a_{n}u^{3}+^{2}\!b_{n}u^{2}+^{2}\!c_{n}u+^{2}\!f_{n}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf633ff821c38ca62c9444eb31568fc423f6c7d)