y substituant au lieu de
sa valeur, on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} =\Gamma \left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6cd1e8ca16b6130864ef1484e864f520a94fb6)
Donc
![{\displaystyle y_{z}=f(mx)=\Gamma \left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}\right)+p{\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc39baad34da285ad848352b43250c872f32e4a)
ainsi la fonction de
demandée est
![{\displaystyle y_{z}=f(x)=\Gamma \left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {x}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {x}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}\right)+p{\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {x}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b58e3f4d1400c8f76350c93fa6718aab9fd6e9)
Il s’agit encore de trouver
telle que
![{\displaystyle \left[f(x)\right]^{2}=f(2x)+2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab25560269d8eeff5926d713f51f565a2fa6692)
On pourrait d’abord penser qu’il est impossible de satisfaire à cette équation, à moins que de supposer
égale à une constante ; c’est en effet ce qu’ont cru d’habiles géomètres (voir le second Volume des Mémoires de Turin, p. 320) ; mais on va voir qu’il y à une infinité d’autres moyens d’y satisfaire.
Soit
![{\displaystyle u_{z}=x\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a8029b5cb38dc991f5238b95050609e62ce40)
et
![{\displaystyle \qquad u_{z+1}=2x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482706816882169f79384c8dbe33dd58e74c39e7)
donc
![{\displaystyle u_{z+1}=2u_{z}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ce7b920771f3bcb161ec79568aeedcfd83999b)
et
![{\displaystyle \qquad u_{z}=\mathrm {A} 2^{z}=x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c99d2428389aa9e0c75e8f586ea5b5889adc220)
De plus, on a
![{\displaystyle f(2x)=f(u_{z+1}),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed325705102f06e623a86b1d5531113994af32e5)
que je désigne par
![{\displaystyle \qquad t_{z+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c2466879912e09b8e012e7b21d36ea783010db)
et
![{\displaystyle f(x)=f(u_{z})=t_{z}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c92874b583ce9e2525e9dca9cabc21b17ae6cd)
on aura donc
![{\displaystyle t_{z+1}=t_{z}^{2}-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905c8fdeda72734bfc79685df62ecf3fc043a875)