Pour intégrer cette équation, je suppose
donc
![{\displaystyle t_{2}=a^{2}+{\frac {1}{a^{2}}},\qquad t_{3}=a^{4}+{\frac {1}{a^{4}}},\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b25c99023965a060297b83d7d56b50ad1b1fa45)
et généralement
![{\displaystyle t_{z}=a^{2^{z-1}}+{\frac {1}{a^{2^{z-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a53518134612e8703f4db7d06282bef0328fb2)
expression complète de
puisque
est arbitraire ; or on a
donc
![{\displaystyle t_{z}=a^{\frac {x}{2\mathrm {A} }}+a^{-{\frac {x}{2\mathrm {A} }}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f959b421ffc112035564ceba0103a6bd6b122d8)
ou
![{\displaystyle \qquad t_{z}=b^{x}+b^{-x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ace162c5bd74d1e2c1c4d858cf62cca4e679aca)
étant une constante arbitraire ; or cette constante peut être supposée une fonction quelconque de
et de
et puisque
étant une constante quelconque, on aura
![{\displaystyle b=f\left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e37516dba07250cad17e928fed51764b6926fa4)
partant la fonction de
demandée est
![{\displaystyle \left[f\left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}}\right)\right]^{x}+\left[f\left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}}\right)\right]^{-x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c7cff4df09819a32811c6f75bb4d516b7423d7)
Il s’agit enfin de trouver
telle que l’on ait
![{\displaystyle f(x+y{\sqrt {-1}})-f(x-y{\sqrt {-1}})=2\mathrm {M} {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3515b299c8620e2d076f054de6b70839873827)
En supposant
on aura
![{\displaystyle f\left[g{\sqrt {-1}}+x\left(1+h{\sqrt {-1}}\right)\right]-f\left[x\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)-g{\sqrt {-1}}\right]=2\mathrm {M} {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1b53d808466f3af4c2874acf89eccc3cd117e0)
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}x\left(1+h{\sqrt {-1}}\right)+g{\sqrt {-1}}=&u_{z+1},\\x\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)-g{\sqrt {-1}}=&u_{z}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e306514f4aa5926246535ff6ba2ce9a394a9f8d4)
on aura donc
![{\displaystyle x={\frac {u_{z}+g{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ef465ff1fac39b39569847188a6aaaaa05fd57)
donc
![{\displaystyle u_{z+1}={\frac {1+h{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}u_{z}+{\frac {2g{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566717072431ace385063d60623b6793cd9f2be1)