XIV.
Des équations aux différences finies, lorsqu’on a plusieurs équations
entre plusieurs variables.
Je suppose que l’on ait les deux équations suivantes entre les trois variables
et
(1)
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(2)
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La manière la plus simple de les intégrer est de les réduire par élimination à deux autres équations, l’une entre
et
l’autre entre
et
pour cela, je multiplie la première par
la seconde par
et je les retranche l’une de l’autre ; ce qui donne
![{\displaystyle \left(^{1}\!\mathrm {C} _{x}-\mathrm {C} _{x}\right)y_{x}+\left(^{1}\!\mathrm {C} _{x}\mathrm {A} _{x}-\mathrm {C} _{x}\,^{1}\!\mathrm {A} _{x}\right)y_{x-1}=\left(^{1}\!\mathrm {C} _{x}\mathrm {B} _{x}-\mathrm {C} _{x}\,^{1}\!\mathrm {B} _{x}\right)\,^{1}\!y_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05793ce5a2904f1c3d54777e7288d1822aff6255)
partant
![{\displaystyle (3)\qquad \left\{{\begin{aligned}&\left(^{1}\!\mathrm {C} _{x-1}-\mathrm {C} _{x-1}\right)y_{x-1}+\left(^{1}\!\mathrm {C} _{x-1}\mathrm {A} _{x-1}-\mathrm {C} _{x-1}\,^{1}\!\mathrm {A} _{x-1}\right)y_{x-1}\\&\quad =\left(^{1}\!\mathrm {C} _{x-1}\mathrm {B} _{x-1}-\mathrm {C} _{x-1}\,^{1}\!\mathrm {B} _{x-1}\right)\,^{1}\!y_{x-1}.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3f6ec9f0c023920792b83627248f7b94d45542)
Je multiplie l’équation (1) par
l’équation (2) par
et je les ajoute avec l’équation (3), ce qui donne
![{\displaystyle \left(\alpha +^{1}\!\alpha \right)y_{x}+\left(\alpha \mathrm {A} _{x}+^{1}\!\alpha \,^{1}\!\mathrm {A} _{x}+^{1}\!\mathrm {C} _{x-1}-\mathrm {C} _{x-1}\right)y_{x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95eb786f8f200c952ebf48f2b7c9d6d5578813c)
![{\displaystyle +\left(^{1}\!\mathrm {C} _{x-1}\mathrm {A} _{x-1}-\mathrm {C} _{x-1}\,^{1}\!\mathrm {A} _{x-1}\right)y_{x-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4475b33c93eb0fc31247017713e76bb35cfe72ff)
![{\displaystyle =\left(\alpha \mathrm {B} _{x}+^{1}\!\alpha \,^{1}\!\mathrm {B} _{x}\right)\,^{1}\!y_{x}+\left(\alpha \mathrm {C} _{x}+^{1}\!\alpha \,^{1}\!\mathrm {C} _{x}+^{1}\!\mathrm {C} _{x-1}\mathrm {B} _{x-1}-\mathrm {C} _{x-1}\,^{1}\!\mathrm {B} _{x-1}\right)\,^{1}\!y_{x-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f498533712b6d0347938b69c6cbeabc374273273)
je fais disparaître
et
au moyen des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha \mathrm {B} _{x}+^{1}\!\alpha \,^{1}\!\mathrm {B} _{x}=0,\\&\alpha \mathrm {C} _{x}+^{1}\!\alpha \,^{1}\!\mathrm {C} _{x}+^{1}\!\mathrm {C} _{x-1}\mathrm {B} _{x-1}-\mathrm {C} _{x-1}\,^{1}\!\mathrm {B} _{x-1}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c622e4445a9b6d13dcdaf802d38fc4b6e95a21a9)
et j’ai de cette manière une équation différentielle entre
et
seules ; par un procédé entièrement semblable, on en trouvera une entre
et
et ce serait la même chose si l’on avait un plus grand nombre d’équations et de variables.