équation dont l’intégrale est
![{\displaystyle u_{z}=\mathrm {A} \left({\frac {1+h{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}\right)^{z}-{\frac {g}{h}}=x\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)-g{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a343e30ed59a67700aa846958bb63db28278575e)
partant,
![{\displaystyle z\operatorname {l} {\frac {1+h{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}=\operatorname {l} (g+hx)+\mathrm {K} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be007e696f7c7fcabc8f125f3f8c04c9e80c0f1d)
Or, si l’on nomme
l’angle dont la tangente est
et
: le rapport de la demi-circonférence au rayon, on aura
![{\displaystyle \operatorname {l} {\frac {1+h{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}=2{\sqrt {-1}}\varpi \pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b0a2130422fcc7fae25ce32724807b174b590a)
donc
![{\displaystyle z={\frac {\operatorname {l} (g+hx)}{2{\sqrt {-1}}\varpi \pi }}+\mathrm {K} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5e82be57b1ef97a525a54eada8330dbe73df44)
Maintenant on a
![{\displaystyle f\left(u_{z+1}\right)-f\left(u_{z}\right)=2\mathrm {M} {\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f639e30121a00c03d44afc25cd72208555c4285)
et, en représentant
par ![{\displaystyle t_{z},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f715c6116ec8337adafb87075d3346ae50d8c49a)
![{\displaystyle t_{z+1}=t_{z}+2\mathrm {M} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6001610c22e1ab01c949cd85c61b6403e2bbf9b)
donc
![{\displaystyle t_{z}=\mathrm {H} +2\mathrm {M} z{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ede60fff4f58e4f58ee11b8f6a60c44d0a1b191)
substituant au lieu de
sa valeur, on aura
![{\displaystyle t_{z}=\mathrm {M} {\frac {\operatorname {l} (g+hx)}{\varpi \pi }}+\mathrm {L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732a02e4371479374145e0d0a9216fc91fa0738c)
étant une constante arbitraire, laquelle peut être fonction quelconque de
et de
ou de
et de
et par conséquent de
or,
donc
peut être fonction de
partant,
![{\displaystyle f\left(x-y{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {M} {\frac {\operatorname {l} (g+hx)}{\varpi \pi }}+\Gamma \left[(g+hx){\frac {1}{\varpi }}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e74d0f02673d7bf36d8adf35b86ba1b871da20b)