XIX.
Problème V. – L’équation aux différences finies et partielles
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {H} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}_{n}}{_{x}}{\mathrm {H} }.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y+\sideset {^{2}_{n}}{_{x}}{\mathrm {H} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\ldots +_{n}\mathrm {P} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cdbc30518d44fd4cc2d415fe963c835ecbc9a6)
étant donnée, on propose de l’intégrer.
Puisque, dans chaque terme de cette équation, la variable
décroît suivant la même loi que la variable
je puis supposer
étant une constante quelconque ;
deviennent alors fonctions de
et de
je représente dans ce cas
par ![{\displaystyle u_{x}\,;\ \sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {H} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24398c1975ddef17a3be3c2632a75e5a58c423ac)
par
enfin
par
l’équation proposée devient donc
![{\displaystyle u_{x}=\mathrm {L} _{x}u_{x-1}+^{1}\!\mathrm {L} _{x}u_{x-2}+^{2}\!\mathrm {L} _{x}u_{x-1}+\ldots +\mathrm {X} _{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bbf3c00e6f7f168f04d0346a181c90c64d8ef4b)
équation aux différences ordinaires, et dont l’intégrale a cette forme par les Articles précédents, en y restituant au lieu de
sa valeur
sont des constantes arbitraires, lesquelles peuvent être fonctions de
ou de
on aura donc
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=\sideset {_{n}}{_{x}}z.\varphi (x-n)+\sideset {^{1}_{n}}{_{x}}z.^{1}\!\varphi (x-n)+\sideset {^{2}_{n}}{_{x}}z.^{2}\!\varphi (x-n)+\ldots +\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {R} }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f8c50ac91a6734b7aff92c1b9e3f99ee656466)
on déterminera les fonctions arbitraires
au moyen des valeurs de
dans autant de suppositions particulières pour
qu’il y a de ces fonctions arbitraires.
L’équation proposée aux différences partielles est donc généralement intégrale, ce qui vient de ce que dans chaque terme
et
varient de la même manière ; mais, si l’on excepte ce cas et quelques autres fort rares, il est impossible d’avoir une intégrale entièrement débarrassée de tout signe d’intégration. Pour le faire voir par un exemple fort simple, je suppose que l’on ait à intégrer l’équation
![{\displaystyle _{n}y_{x}=\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4016092fc12eabe7a2280042ccf6956eafb94d)