en supposant,
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{x}}y=\varphi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a753d97ca85b78c8469b2df32752620d405222ec)
on aura
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{x}}y-\sideset {_{2}}{_{x-1}}y=\varphi (x-1),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b1484a74060664e02b0f6652fb6cc4d5212339)
ou
![{\displaystyle \qquad \Delta .\sideset {_{2}}{_{x}}y=\varphi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1e90482d36139e60f0a611fd794ffca761dbe3)
partant
on trouvera pareillement
![{\displaystyle \sideset {_{3}}{_{x}}y=\Sigma ^{2}\varphi (x),\qquad \sideset {_{4}}{_{x}}y=\Sigma ^{3}\varphi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ec58f5277cff08168aeed68ce33f5649d9c75c)
et généralement
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=\Sigma ^{n-1}\varphi (x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a5e2f91484c958e4d27712e71742adf0563270)
telle est donc la valeur complète de
en ayant soin d’ajouter à chaque intégration une constante arbitraire.
On peut simplifier cette valeur et la réduire à des quantités affectées du simple signe d’intégration, de la manière suivante.
Il faut réduire la double intégrale
à de simples intégrales ; je fais pour cela
![{\displaystyle \Sigma ^{2}\varphi (x)=z_{x}\Sigma \varphi (x)-\Sigma t_{x}\varphi (x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589b2b84f2285124724bf3be979322f2d6654805)
en différenciant, il vient
![{\displaystyle \Sigma \varphi (x)=\left(z_{x}+\Delta z_{x}\right)\left[\varphi (x)+\Sigma \varphi (x)\right]-z_{x}\Sigma \varphi (x)-t_{x}\varphi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03be30ff4291b17e338e7dfbb6e13c4910e78cdf)
ou
![{\displaystyle \Sigma \varphi (x)=\left(z_{x}+\Delta z_{x}-t_{z}\right)\varphi (x)+\Delta z_{x}\Sigma \varphi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bbbad035aae5375067acbf0770258b879e94a2)
Donc
et
je puis donc supposer
et
ce qui donne
![{\displaystyle \Sigma ^{2}\varphi (x)=x\Sigma \varphi (x)-\Sigma (x+1)\varphi (x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73d875ad553c1180f8d4e23201ab7d31fc603ec)
on réduira, par un procédé semblable,
à des quantités affectées d’un seul signe d’intégration ; mais il sera impossible de l’en débarrasser entièrement.
Voici maintenant une méthode d’intégrer les équations aux différences partielles, dans laquelle l’inconvénient des quantités affectées de plusieurs signes d’intégration n’est point à craindre.