or cette équation est la même que celle-ci
![{\displaystyle 0=1-{\frac {\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {A} }}{f}}{\frac {-\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}-\ldots -{\frac {\mathrm {A} _{2}}{f}}\left(1-{\frac {\mathrm {A} _{3}}{f}}-\ldots \right)-{\frac {\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}\left(1-{\frac {\mathrm {A} _{3}}{f}}-\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9834b2ab02fbcf3fa0d5957d59269baefcb525b9)
et, partant, elle est égale à la suivante :
![{\displaystyle 0=\left(1-{\frac {\mathrm {A} _{2}}{f}}-{\frac {\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}-{\frac {\sideset {^{2}}{_{2}}{\mathrm {A} }}{f^{3}}}-\ldots \right)\left(1-{\frac {\mathrm {A} _{3}}{f}}-{\frac {\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}-\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fcd0f4243d281f82257a387adb53bf4e91d0e3)
En suivant le même procédé pour
et généralement pour
on transformera l’équation
du Problème dans la suivante
(2)
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qu’il sera facile d’intégrer lorsqu’on connaîtra
et les racines de l’équation
![{\displaystyle 0=1-{\frac {a_{n}}{f}}-{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}a}{f^{2}}}-{\frac {\sideset {^{2}}{_{n}}a}{f^{3}}}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79025f5ded9e1c7b276c00b6bb99f55fb1afdade)
or on verra facilement que cette équation est la même que celle-ci
![{\displaystyle 0=\left(1-{\frac {\mathrm {A} _{2}}{f}}-{\frac {\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}-{\frac {\sideset {^{2}}{_{2}}{\mathrm {A} }}{f^{3}}}-\ldots \right)\left(1-{\frac {\mathrm {A} _{3}}{f}}-{\frac {\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}-\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320ae66a0cdcdd1bc7d5e1bb72085dabe4dc1d91)
![{\displaystyle \times \ldots \left(1-{\frac {\mathrm {A} _{n}}{f}}-{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}-\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77471a301e73c4ebf2ba0f47c0664acf5cfb1eec)
d’où il est facile de conclure ![{\displaystyle a_{n},\sideset {^{1}}{_{n}}a,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54c029a49d31c0f191ae6f7559922d8286ae2b3)
Pour déterminer présentement la valeur de
j’observe que, de l’équation
(2)
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on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y=&\mathrm {B} _{n}.a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\mathrm {B} _{n}.\sideset {^{1}}{_{n-1}}a.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}u,\\\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y=&\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {^{1}}{_{n-1}}a.\sideset {_{n-1}}{_{x-3}}y+\ldots +\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecfa536fc7aa457b156a24976a6cfd74cd7b247)