Si l’on ajoute toutes ces équations membre à membre, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y+&\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\ldots \\=&a_{n-1}\left(\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots \right)\\&+\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\left(\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89dd5f4349764a4009d276542773b39bc5d191a0)
Or, si l’on substitue, au lieu de
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y\quad +\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\ldots ,\\&\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab777b9bedd2839b7e3b743c0399a304c8c5122)
leurs valeurs données par l’équation du problème, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y-\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y-\ldots -\mathrm {N} _{n}=&a_{n-1}\left(\sideset {_{n}}{_{x-1}}y-\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\ldots -\mathrm {N} _{n}\right)\\&+\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\left(\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\ldots -\mathrm {N} _{n}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3de0a3b1d9ee2243ddfb02be7e475d5b3920579)
En ordonnant les différents termes de cette équation, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y=&\sideset {_{n}}{_{x-1}}y\left(\ a_{n-1}+\mathrm {A} _{n}\right)\\&\sideset {_{n}}{_{x-2}}y\left(\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\ \ a_{n-1}\mathrm {A} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right)\\&\sideset {_{n}}{_{x-3}}y\left(\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\mathrm {A} _{n}-a_{n-1}.\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }+\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots \\&+\mathrm {N} _{n}\left(1-a_{n-1}-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\ldots \right).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bdefd962b8d2cfd1728ebcc644312d0723a9271)
Si l’on compare maintenant terme à terme cette dernière équation avec l’équation (2), on aura les suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}=&\ a_{n-1}+\mathrm {A} _{n},\\\sideset {^{1}}{_{n}}a=&\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\ \ a_{n-1}\mathrm {A} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} },\\\sideset {^{2}}{_{n}}a=&\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\mathrm {A} _{n}-a_{n-1}.\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }+\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {A} },\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc7474f87df559e8e9e102369faf104e9cb2ec0)