Les constantes doivent être telles, qu’en supposant
on ait
en sorte que l’on doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {C} _{1}=0,\ b_{1}=1,\ \sideset {_{1}}{_{1}}b=0,\ \sideset {_{2}}{_{1}}b=0,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5f2dc3a57f35563cdf6c4059a69df2098e1d98)
En intégrant l’équation (2) à laquelle se réduit l’équation du problème, cette opération introduit dans l’expression de
des constantes arbitraires, lesquelles peuvent être fonctions de
mais ces fonctions ne sont pas arbitraires, puisque l’intégrale de l’équation
ne peut renfermer d’autre fonction arbitraire que
on les déterminera de cette manière.
Si l’on nomme
les racines de l’équation
![{\displaystyle 1={\frac {a_{n}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}a}{f^{2}}}+{\frac {\sideset {^{2}}{_{n}}a}{f^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474aa4e523ebc30272beb2761f2845e07e948ce3)
on aura, par l’Article X,
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=\mathrm {C} _{n}p_{n}^{x}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }\sideset {^{1}}{^{x}_{n}}p+\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }\sideset {^{2}}{^{x}_{n}}p+\ldots +\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {L} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249d2eb23be2f916e6b540206714dafa8438e8c2)
Si l’on substitue cette expression de
dans l’équation
on en tirera, en comparant les termes homologues par rapport à
autant d’équations différentielles qu’il y a de fonctions
et, en intégrant ces équations, on déterminera ces fonctions.
Au lieu de faire
on peut imaginer une équation différentielle quelconque entre
et
je suppose que cette équation soit celle d’une suite récurrente, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{x}}y=\mathrm {F} .\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{}{\mathrm {F} }.\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb8dbee88dab94b49685639d29dd2ee356b2dbe)
et
étant constants ; en suivant la méthode du problème, on parviendra à l’équation suivante
(5)
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et l’on trouvera que l’équation
![{\displaystyle 1={\frac {a_{n}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}a}{f^{2}}}+{\frac {\sideset {^{2}}{_{n}}a}{f^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f70b517ed3ec9bb85a8b726e8a2be2e1d193a71)