On pourrait, en intégrant ces équations, déterminer
s’il n’était pas beaucoup plus simple de les conclure par la méthode précédente.
Enfin on aura
![{\displaystyle (3)\quad \sideset {_{n}}{_{x}}u=\mathrm {N} _{n}\left(1-a_{n-1}-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23a0347f32f1ef7aec4da7210b6778c35108d04)
![{\displaystyle +\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc10092f6c8426521593207a620f84961aecc5e9)
Pour intégrer cette dernière équation, j’observe que, puisque
on aura,
d’où je conclus
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{x}}u=\mathrm {N} _{2}\left(1-a_{1}-\ldots \right)+\mathrm {B} _{2}.\varphi (x)+\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {B} }\varphi (x-1)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a68a4c04c84c4a1eb1176ee8707f78099cd7b2)
on aurait de la même manière
et l’on voit qu’en procédant ainsi on aura généralement
(4)
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donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n-1}}{_{x}}u\ \ \ =&b_{n-1}\varphi (x)\quad \ \ \ +\sideset {^{1}}{_{n-1}}b\varphi (x-1)+\ldots +\mathrm {C} _{n-1},\\\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u=&b_{n-1}\varphi (x-1)+\sideset {^{1}}{_{n-1}}b\varphi (x-2)+\ldots +\mathrm {C} _{n-1},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d81dc4feffdd5f848278560ad52474c2de99f1)
Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (3), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}u=&\mathrm {N} _{n}\left(1-a_{n-1}-\sideset {_{1}}{_{n-1}}a-\ldots \right)+\mathrm {C} _{n-1}\left(\mathrm {B} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\ldots \right)\\&+b_{n-1}\mathrm {B} _{n}\varphi (x)+\varphi (x-1)(\sideset {^{1}}{_{n-1}}b\mathrm {B} _{n}+b_{n-1}.)+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1296ed6e942732109c87066d3ca379cdc08fc71)
d’où, en comparant avec l’équation (4), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{n}=&\mathrm {B} _{n}.b_{n-1},\\\sideset {^{1}}{_{n}}b=&\mathrm {B} _{n}.\sideset {^{1}}{_{n-1}}b+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.b_{n-1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0907fb6e6041797c7ae79a581af7cfc6bf3801cd)
![{\displaystyle \mathrm {C} _{n}=\mathrm {C} _{n-1}\left(\mathrm {B} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\ldots \right)+\mathrm {N} _{n}\left(1-a_{n-1}-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07f0764bc0320680e36f9f4ae5b5ae0195fe3a6)
En intégrant ces différentes équations et ajoutant les constantes convenables, on aura les valeurs de
et partant celle de