Ces équations montant aux secondes différences, leur intégrale doit renfermer deux constantes arbitraires. Or, en supposant
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad016357d5abbc3e075c5f6103314c3140202753)
On doit donc avoir alors
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b_{n}=&1,\qquad &\sideset {^{1}}{_{n}}b=&0,\qquad &\sideset {^{2}}{_{n}}b=&0,\qquad &&\ldots ,\\c_{n}=&0,&\sideset {^{1}}{_{n}}c=&0,&\sideset {^{2}}{_{n}}c=&0,&&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01819959ee66dc010b839a13832c47a71831f716)
De plus, en supposant ![{\displaystyle n=2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4014eb4f6564eccaacc683fc9ff882da482c5268)
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=\sideset {^{1}}{}\varphi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367fc2463f24624abb86bfb86a1680bef80e6ad5)
Donc alors
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b_{n}=&0,\qquad &\sideset {^{1}}{_{n}}b=&0,\qquad &\sideset {^{2}}{_{n}}b=&0,\qquad &&\ldots ,\\c_{n}=&1,&\sideset {^{1}}{_{n}}c=&0,&\sideset {^{2}}{_{n}}c=&0,&&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06596a7140cb39d24b234d3a4b83ce191bb3ecb)
Au moyen de ces conditions, il sera facile de déterminer les constantes arbitraires. Connaissant ainsi l’expression de
il ne s’agit plus que d’intégrer l’équation
et les constantes arbitraires que l’intégration introduit, lesquelles peuvent être fonctions de
se détermineront par la méthode que j’ai donnée (Art. XX).
Si, au lieu des deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}y=&\ \varphi (x),\\\sideset {_{2}}{_{x}}y=&\sideset {^{1}}{}\varphi (x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736d9d3f4198d1688ab38cb402d0fdff5c857583)
on avait les deux suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}y+\mathrm {E} .\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{}{\mathrm {E} }.\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {K} =&0,\\\sideset {_{2}}{_{x}}y+\mathrm {H} .\sideset {_{2}}{_{x-2}}y+\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {L} =&\mathrm {F} .\sideset {_{1}}{_{x}}y+\sideset {^{1}}{}{\mathrm {F} }.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54388d0b754026d4604f0829e8f198aed43e23e9)
on parviendra, par la méthode précédente, à une équation de cette forme
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\ldots +\sideset {_{n}}{_{x}}u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4e0822c2cefe6f15272ed3238222b08e1c353d)
et l’on trouvera que l’équation
![{\displaystyle 1={\frac {a_{n}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}a}{f^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c4029e1b17a055808024930855cbb5956b4af0)