suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}y=&\sideset {_{2}}{_{x}}y,\\\sideset {_{2}}{_{x}}y=&\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\sideset {_{3}}{_{x-1}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\sideset {_{n}}{_{x}}y=&\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\sideset {_{m}}{_{x}}y=&\sideset {_{m-1}}{_{x-1}}y.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b934a75e3d2c48b42cf8a341ad01b0b3b8a369c7)
L’équation
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2585499dee1b2acb89af1f6c956b0cee65d8221)
est aux différences partielles ; mais elle diffère des équations précédentes :
1o En ce que
et
ne sont point données en fonctions de
ou par deux équations différentielles ;
2o En ce qu’elle cesse d’avoir lieu lorsque
Comme ce genre d’équations se rencontre quelquefois, et principalement dans l’analyse des hasards, je vais donner ici la manière de les intégrer.
J’observe pour cela que, si l’on pouvait réduire l’équation
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99ce638ea0ca7f8b218251a0010bc547191d286)
laquelle est du troisième ordre par rapport à
à une autre du second ordre, le problème serait résolu ; je suppose en effet que l’équation du second ordre soit
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\ldots +u_{n}+b_{n}.\sideset {_{n+1}}{_{x}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}b.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f216b8d880c93b797f74199574b3ca570d6d7f7d)
Dans le cas de
on aura
![{\displaystyle \sideset {_{m-1}}{_{x}}y=a_{m-1}.\sideset {_{m-1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{m-1}}a.\sideset {_{m-1}}{_{x-2}}y+\ldots +u_{m-1}+b_{m-1}.\sideset {_{m}}{_{x}}y+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5a9015560cfec9765605c9c7a9ae05235c55b6)
d’où, éliminant
au moyen de l’équation
on aura une équation aux différences ordinaires entre
et ![{\displaystyle \sideset {_{m}}{_{x}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c05276062e012dede26a7d04327ffee550539b2)
Toute la difficulté consiste donc à abaisser l’équation du troisième ordre, par rapport à
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2585499dee1b2acb89af1f6c956b0cee65d8221)
à une du second ordre ; c’est l’objet du problème suivant.