possibles, on aura la somme de tous les cas impairs
Or,
étant
on doit avoir
donc
On trouvera pareillement la somme de tous les cas pairs
or,
étant
on a
Donc
partant, la somme des cas impairs est
et la somme des cas pairs est
ainsi, la probabilité pour les impairs est
![{\displaystyle {\frac {2^{n}-1}{2^{n+1}-n-2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d342dcf7284f6f16c8c37dcbf2aa12082104def1)
et la probabilité pour les pairs
![{\displaystyle {\frac {2^{n}-n-1}{2^{n+1}-n-2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878e8e3737dba038db0cf3556dd5211223bacc4b)
XXVII.
Problème XI. – Soit
une somme que Paul constitue en rente, de manière que l’intérêt soit
de ce qui lui est dû : je suppose que, pour des raisons quelconques, on retienne chaque année la fraction
de cet intérêt, en sorte que Paul, à la fin de la première année, par exemple, ne doive percevoir que la quantité
cela posé, si on lui paye tous les ans la somme
et, par conséquent, plus qu’il ne lui est dû, et que le surplus soit employé à amortir le capital, on demande ce que deviendra ce capital à la
ième année.
Soit
ce capital à la
ième année ; il est visible que, à la fin de l’année
il ne sera dû à Paul que
Donc, puisqu’on lui paye la somme
le capital sera diminué de la quantité
partant, on aura
![{\displaystyle y_{x+1}=y_{x}-{\frac {a}{m}}+y_{x}{\frac {n-1}{mn}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e756bdc9f24e4bbb713240d414b401c5a9c77374)
et, en intégrant comme dans le Problème I,
![{\displaystyle y_{x}={\frac {na}{n-1}}+\mathrm {A} \left(1+{\frac {n-1}{mn}}\right)^{x-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315b52b6a47345980747b8ec0262856b6c62b57f)