on aura donc
![{\displaystyle u_{x}=nu_{x-1}+n^{x-n}-u_{x-n}\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9519682d833321949b8ceabc4ca7afb3829c6a34)
partant,
![{\displaystyle \quad y_{x}=y_{x-1}-{\frac {y_{x-n}}{n^{n}}}+{\frac {1}{n^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170cae8d508fe0726c105dec9d21151da3f50797)
équation que l’on intégrera facilement par les méthodes précédentes.
Soit
on aura
![{\displaystyle y_{x}=y_{x-1}-{\frac {y_{x-2}}{4}}+{\frac {1}{4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c093f0c5532f4d1763421e8fc04b1674ab2d989e)
d’où je conclus, en intégrant,
![{\displaystyle y_{x}=1+{\frac {\mathrm {A} x+\mathrm {B} }{2^{x-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da15a7ffbcd92efa76fbc07be1ca1edf9b43bc0)
or, posant
et posant
donc,
et
partant, ![{\displaystyle y_{x}=1-{\frac {x+1}{2^{x}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c392a4ab605d625b27b0cf06bcec78a2743e2126)
XXIX.
Problème XIII. – Je suppose un nombre
de joueurs
jouant de cette manière :
joue avec
et s’il gagne il gagne la partie ; s’il ne perd ni gagne, il continue déjouer avec
jusqu’à ce que l’un des deux gagne. Que si
perd,
joue avec
s’il le gagne, il gagne la partie ; s’il ne perd ni gagne, il continue de jouer avec
mais s’il perd,
joue avec
et ainsi de suite jusqu’à ce que l’un des joueurs ait vaincu celui qui le suit ; c’est-à-dire que
soit vainqueur de
ou
de
ou
de
ou
de
ou
de
De plus, la probabilité d’un quelconque des joueurs pour gagner l’autre égale
et celle de ne gagner ni perdre égale
Cela posé, il faut déterminer la probabilité que l’un de ces joueurs gagnera la partie au coup
Soit
la probabilité qu’au coup
sera vainqueur de
on aura
![{\displaystyle {\overset {n}{u}}_{x}={\frac {1}{3}}{\overset {n}{u}}_{x-1}+{\frac {1}{3}}{\overset {n-1}{u}}_{x-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e8ab09521ca0276405686d9d9e23bfad1b7dca)
Soit maintenant
la probabilité que
au coup
gagnera la