mais, en faisant
on a
![{\displaystyle y_{x}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0554f83a7bf9a8c8eb350252343a890af9b4f997)
par la supposition ; donc
![{\displaystyle p={\frac {a\left(1+{\cfrac {1}{m}}\right)^{h}}{m\left[\left(1+{\cfrac {1}{m}}\right)^{h}-1\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cce75efd729fdafaaeb6754a44332e4c26a1a47)
XXVIII.
Problème XII. – J’imagine un solide composé d’un nombre
de faces parfaitement égales, et que je désigne par les nombres
je veux avoir la probabilité que, en un nombre
de coups, j’amènerai ces
faces de suite dans l’ordre ![{\displaystyle 1,2,3,4,\ldots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed82efc2da97f10d8bac924cae35f09b19e5d83)
Je nomme
cette probabilité, et
le nombre des cas favorables ; le nombre de tous les cas possibles est
car, si l’on nomme
ce nombre au coup
il sera
au coup
Or, le nombre des cas au coup
doit se combiner avec toutes les faces du solide, pour former tous les cas possibles au coup
on a donc
![{\displaystyle t_{x}=nt_{x-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ac5fab71bae6e1dc0af9a88b24c71e04642ca7)
ce qui donne
![{\displaystyle t_{x}=\mathrm {A} n^{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4f234c90f46dc300c2113129105d93003b3d73)
Or, posant
donc
![{\displaystyle \mathrm {A} =1\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa9663c1f1785b8faed981c136170fb78c9fa5f)
et
![{\displaystyle \qquad t_{x}=n^{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb46e2529bc331b136a995a224e5ddf749cc04b)
On aura donc
![{\displaystyle {\frac {u_{x}}{n^{x}}}=y_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ee9eeafc9490de62179e49eb00c771034dfe55)
Or
est évidemment égal au nombre des cas favorables au coup
multiplié par le nombre des faces du solide, plus au nombre des cas dans lesquels la combinaison
peut arriver précisément au coup
de plus, tous les cas dans lesquels cette combinaison n’est point arrivée au coup
donnent chacun un cas dans lequel elle arrivera précisément au coup
Le nombre de ces cas est ![{\displaystyle n^{x-n}-u_{x-n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e122704bb68244f7f94bee8d958f4b4490ac3b79)