partant,
Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle 1=\left(\mathrm {C} _{n}+2\mathrm {D} _{n}+\mathrm {E} _{n}\right){\frac {q^{2}}{(p+q)^{2}}}=\left(1+2{\frac {p}{q}}+\mathrm {E} _{n}\right){\frac {q^{2}}{(p+q)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f655c051f0bf221c08a32a87b251cea6994a4f2)
donc
et ainsi de suite ; d’où il est facile de conclure
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y={\frac {1}{\left({\frac {p}{q}}+1\right)^{x-1}}}\left[1+{\frac {p}{q}}(x-1)+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}{\frac {(x-1)(x-2)}{1.2}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47aaefea17c044db5978b5aadce8d065506232f7)
![{\displaystyle \left.+{\frac {p^{3}}{q^{3}}}{\frac {(x-1)(x-2)(x-3)}{1.2.3}}+\ldots +{\frac {p^{n-1}}{q^{n-1}}}{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7ad586daf661d5617f87a8442c67edf7a2c1b0)
XXXI.
Problème XV. – Trois joueurs
dont les adresses respectives sont représentées par les lettres
jouent ensemble de manière que, sur un nombre
de coups, il en manque
à
à
et
à
on propose de déterminer la probabilité respective de ces trois joueurs pour gagner.
Soit,
la probabilité de
pour gagner ; il est clair qu’après un nouveau coup elle sera, ou
ou
ou
or
la probabilité qu’elle sera
est
la probabilité qu’elle sera
est
et la probabilité qu’elle sera
est
On aura donc
![{\displaystyle (o)\ \sideset {_{m,n}}{_{x}}y={\frac {p}{p+q+r}}\sideset {_{m-1,n}}{_{x-1}}y+{\frac {q}{p+q+r}}\sideset {_{m,n-1}}{_{x-1}}y+{\frac {r}{p+q+r}}\sideset {_{m,n}}{_{x-1}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78beee1750a17b7e10088a370d5477b6b74b01de)
Cette équation est aux différences partielles à quatre variables, et s’intègre par le Problème IX ; mais, pour cela, il faut que l’on ait deux équations particulières pour les cas de
et de
pour les trouver, j’observe que, si l’on fait
on aura
![{\displaystyle (p)\qquad \qquad \sideset {_{1,n}}{_{x}}y={\frac {r}{p+q+r}}\sideset {_{1,n}}{_{x-1}}y+{\frac {q}{p+q+r}}\sideset {_{1,n-1}}{_{x-1}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f55bead22df87b273c13a8742f817932e0f089)
parce que, lorsque
on a ![{\displaystyle \sideset {_{{m-1},n}}{_{x-1}}y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2859862e9a19bd84e6e048086347318dc88e7c45)